人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版)

1三角函数yAxsin()的图像变换____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1结合具体实例，理解y=Asin）（x的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin）（x的简图。会用计算机画图，观察并研究参数,,A，进一步明确,,A对函数图象的影响。2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin）（x的图象。3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数)3sin(xy和)4sin(xy的简图，并指出它们与yxsin图象之间的关系。解析：函数)3sin(xy的周期为2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。设Zx3，那么Zxsin)3sin(，3Zx当Z取0、2232，，，时，x取36237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(xy，35,3x图象上起关键作用的点。列表：x36237653x302322sin()x3010－102类似地，对于函数)4sin(xy，可列出下表：x434547494x402322sin()x4010－10描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出)3sin(xy，xR及)4sin(xy，xR的简图（图略）。由图可以看出，)3sin(xy的图象可以看作是把yxsin的图象上所有的点向左平行移动3个单位而得到的，)4sin(xy的图象可以看作是把yxsin的图象上所有的点向右平行移动4个单位得到的。注意：一般地，函数yxsin()()0的图象，可以看作是把yxsin的图象上所有的点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动||个单位而得到的。推广到一般有：将函数yfx()的图象沿x轴方向平移||a个单位后得到函数yfxaa()()0的图象。当a0时向左平移，当a0时向右平移。2、函数图象的横向伸缩变换3如作函数yxsin2及yxsin12的简图，并指出它们与yxsin图象间的关系。解析：函数yxsin2的周期T22，我们来作x[]0，时函数的简图。设2xZ，那么sinsin2xZ，当Z取0、2232，，，时，所对应的五点是函数yZZsin[]，，02图象上起关键作用的五点，这里xZ2，所以当x取0、4、234、、时，所对应的五点是函数yxxsin[]20，，的图象上起关键作用的五点。列表：x042342x02322sin2x010－10函数xy21sin的周期4212T，我们来作x[]04，时函数的简图。列表：x023412x02322sin12x010－10描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出yxsin2，xR及xy21sin，xR的简图（图略）。从上图可以看出，在函数xy2sin的图象上横坐标为20x（xR0）的点的纵坐标同yxsin上横坐标为x0的点的纵坐标相同（例如，当x02时，sin()sin22210x，sinsinx021）。因此，yxsin2的图象可以看作是把yxsin的图象上所有点的横坐标缩4短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到的。类似地，yxsin12的图象可以看作是把yxsin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。注意：一般地，函数yxsin()01且的图象，可以看作是把yxsin的图象上所有点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的。推广到一般有：函数yfx()()01，的图象，可以看作是把函数yfx()的图象上的点的横坐标缩短（当1）或伸长（当01）到原来的1倍（纵坐标不变）而得到。3、函数图象的纵向伸缩变换如在同一坐标系中作出xysin2及xysin21的简图，并指出它们的图象与yxsin的关系。解析：函数yx2sin及xysin21的周期T2，我们先来作x[]02，时函数的简图。列表：x02322sinx010－102sinx020－2012sinx0120120描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到yxxR2sin，及yxxR12sin，的简图（图略）。从上图可以看出，对于同一个x值，yx2sin的图象上点的纵坐标等于yxsin的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而yxxR2sin，的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。类似地，xysin21的图象，可以看作是把yxsin的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的215倍（横坐标不变）而得到的，从而Rxxy，sin21的值域是［-21，21］，最大值为21，最小值为12。注意：对于函数yAxsin（A0且A≠1）的图象，可以看作是把yxsin的图象上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，yAxxRsin，的值域为［－A，A］，最大值为A，最小值为－A。推广到一般有：函数yAfx()（A0且A≠1）的图象，可以看作是把函数yfx()图象上的点的纵坐标伸长（当A1）或缩短（当0A1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。4、函数yAxsin()的图象作函数yAxsin()的图象主要有以下两种方法：（1）用“五点法”作图用“五点法”作yAxsin()的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2，，23，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。（2）由函数yxsin的图象通过变换得到yAxsin()的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：先平移后伸缩yxyxsinsin()()()||向左或向右平移个单位00横坐标变为原来的倍纵坐标不变1yxsin()纵坐标变为原来的倍横坐标不变AyAxsin()法二：先伸缩后平移yxsin横坐标变为原来的倍纵坐标不变1yxyxsinsin()()()||向左或向右平移个单位00纵坐标变为原来的倍横坐标不变AyAxsin()可以看出，前者平移||个单位，后者平移||个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。当函数yAxsin()（A0，0，x[)0，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T2，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数fT12，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。6例1.用两种方法将函数yxsin的图象变换为函数yxsin()23的图象。分析1：xxxx22623()解法1：yxsin横坐标缩短到原来的纵坐标不变12yxsin26向左平移个单位yxxsin[()]sin()2623分析2：xxx323解法2：yxsin向左平移个单位3yxsin()312横坐标缩短到原来的纵坐标不变yxsin()23点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即6和3），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。练习：∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最7的图象．∴选D例2.用五点法作出函数)32sin(2xy的图象，并指出函数的单调区间。分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：（1）列表列表时32x取值为0、2、、23、2，再求出相应的x值和y值。（2）描点x61237125623x02322y020-20（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到)32sin(2xy，xR的简图（图略）。可见在一个周期内，函数在［12，127］上递减，又因函数的周期为，所以函数的递减区间为）（Zkkk,127,12。同理，增区间为）（Zkkk,12,125-。点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的x取0、2、、23、2，然后求出相应的x，y值。例3.如图是函数yAxsin()的图象，确定A、、的值。8解析：显然A＝2T566()222Tyx22sin()解法1：由图知当x6时，y＝0故有2260x()，3所求函数解析式为yx223sin()解法2：由图象可知将yx22sin的图象向左移6即得yx226sin()，即yx223sin()3点评：求函数yAxsin()的解析式难点在于确定初相，一般可利用图象变换例:4．试述如何由y=31sin（2x+3π）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=31sin（2x+3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin312xyxysin313π纵坐标不变个单位图象向右平移xysin3横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y=31sin（2x+3π）的图象向右平移6π个单位，得y=31sin2x的图象；（2）再将y=31sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=31sinx的图象；（3）再将y=31sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例5：函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15，试依图指出9(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．解析：这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．练习：1．(13分)已知函数f(x