正弦定理-习题课课件

-1-第二章解三角形-2-§1正弦定理与余弦定理-3-1.1正弦定理-4-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.能够利用向量的方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.2.会求三角形的面积和外接圆的半径.3.会利用正弦定理解决实际问题.-5-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中(1)正弦定理的变形:,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.①a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;②𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵,𝑎𝑐=sin𝐴sin𝐶,𝑏𝑐=sin𝐵sin𝐶;③𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=𝑎+𝑏+𝑐sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶.-6-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航(2)正弦定理中的比值大小.设△ABC的外接圆的半径为R,则有𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2𝑅.上述结论可变形为:①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=𝑎2𝑅,sin𝐵=𝑏2𝑅,sin𝐶=𝑐2𝑅;③AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.-7-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于钝角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值;④在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.其中正确的个数是().A.1B.2C.3D.4解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.答案:B-8-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做1-2】在锐角三角形ABC中,若a=3,△ABC的外接圆半径为3,则𝐴=.解析:∵𝑎sin𝐴=2𝑅,∴sinA=𝑎2𝑅=323=32.∵0°A90°,∴A=60°.答案:60°-9-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航2.三角形的常用面积公式(1)S=12𝑎ℎ𝑎(ℎ𝑎表示𝑎边上的高).(2)S△ABC=12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12𝑏𝑐sin𝐴.【做一做2】在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积S=.解析:S=12𝑎𝑏sinC=12×10×8×sin30°=20.答案:20-10-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航3.解三角形一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.利用正弦定理可以解两类三角形:(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角;(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角.【做一做3-1】在△ABC中,若AB=3,B=75°,C=60°,则BC=.解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则A=45°.由正弦定理,得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,所以a=BC=𝑐sin𝐴sin𝐶=3sin45°sin60°=6.答案:6-11-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航【做一做3-2】在△ABC中,若a=3,b=3,𝐴=π3,则𝐶的大小为.解析:在△ABC中,由正弦定理,得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,即sinB=𝑏sin𝐴𝑎=3×323=12.∵ab,∴B=π6.∴C=π-A-B=π2.答案:π2-12-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中,解下列三角形.(1)A=45°,C=30°,c=10;(2)a=3,𝑏=2,𝐵=45°.分析:(1)分清已知和所求,选择一个与条件相吻合的正弦定理的式子进行求解;(2)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理先求出另一边对角的正弦值,然后再求其他边与角.解:(1)∵c=10,A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=10sin45°sin30°=102.由𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得b=𝑐sin𝐵sin𝐶=10sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=56+52.-13-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(2)由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinA=𝑎sin𝐵𝑏=3sin45°2=32.∵asinBba,∴该三角形有两个解.∴A=60°或A=120°.①当A=60°时,C=180°-A-B=75°,∴c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin75°sin45°=6+22.②当A=120°时,C=180°-A-B=15°,c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin15°sin45°=6-22.综上所述,A=60°,C=75°,c=6+22,或A=120°,C=15°,c=6-22.-14-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另两边.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,还需对角的情况加以讨论,如果有解,是一解还是两解,再由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.-15-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求b的边长及三角形外接圆的半径.(2)在△ABC中,b=10,c=56,𝐶=60°,解三角形.解:(1)由正弦定理,得𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2𝑅,∴b=𝑐sin𝐵sin𝐶=sin30°sin45°=22,2R=𝑐sin𝐶=1sin45°=122=2,即R=22.(2)∵b=10,c=56,𝑏𝑐,𝐶=60°90°,∴本题有一解.∵sinB=𝑏sin𝐶𝑐=10sin60°56=22,∴𝐵=45°,∴A=180°-(B+C)=75°.∴a=𝑏sin𝐴sin𝐵=10sin75°sin45°=10×6+2422=5(3+1).-16-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型二判断三角形的形状【例2】在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lg2,且𝐵为锐角,试判断△ABC的形状.分析:三角形的形状通常由三角形内角的关系确定,也可以由三角形三边的关系确定.本题可考虑把边化成角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定.解:由lga-lgc=lgsinB=-lg2,得sinB=22.∵B为锐角,∴B=45°.又lga-lgc=lg22,∴𝑎𝑐=22.由正弦定理,得sin𝐴sin𝐶=22,即sin𝐴sin(135°-𝐴)=22.化简得sinA=cosA.解得tanA=1,∴A=45°.∴C=180°-A-B=90°.∴△ABC为等腰直角三角形.-17-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四反思根据已知条件,通过恰当地恒等变形得出边之间的关系或角之间的关系,从而判断出三角形的形状.-18-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为().A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,∴sin(B+C)=sin2A,∴sinA=sin2A.∵0Aπ,sinA≠0,∴△ABC为直角三角形.答案:A∴sinA=1,A=π2,-19-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四题型三求三角形的面积【例3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π3,cos𝐴=45,𝑏=3.(1)求sinC的值;(2)求△ABC的面积.分析:(1)先利用三角形内角和定理用角A表示角C,再利用两角差的正弦公式求sinC;(2)利用正弦定理求出a的值,然后由公式S△ABC=12𝑎𝑏sinC计算可得.-20-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)∵A,B,C为△ABC的三个内角,且B=π3,cos⁡A=45,∴𝐶=2π3−𝐴,sinA=35.∴sinC=sin2π3-𝐴=32cosA+12sinA=3+4310.(2)由(1)知sinA=35,sin⁡C=3+4310,且B=π3,𝑏=3,∴在△ABC中,由正弦定理,得a=𝑏sin𝐴sin𝐵=65.∴△ABC的面积S=12𝑎𝑏sinC=12×65×3×3+4310=36+9350.反思在△ABC中,若a,b,c分别是角A,B,C的对边,则S△ABC=12𝑏𝑐sinA=12𝑎𝑐sinB=12𝑎𝑏sinC,这是解三角形中一个重要的公式,经常在高考题中出现,同学们应重视.-21-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=π4,𝑏sinπ4+𝐶−𝑐sinπ4+𝐵=𝑎.(1)证明:B-C=π2;(2)若a=2,求△ABC的面积.(1)证明:由bsinπ4+𝐶−𝑐sinπ4+𝐵=𝑎及正弦定理,得sinBsinπ4+𝐶−sinCsinπ4+𝐵=sinA,sin𝐵22sin𝐶+22cos𝐶−sin𝐶22sin𝐵+22cos𝐵=22,整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1.∵0B3π4,0𝐶3π4,∴𝐵−𝐶=π2.-22-1.1正弦定理ZHISHISHULI知识梳理SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析目标导航