分形理论及其应用

分形理论及其应用分形理论简介应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究应用实例之二：沙漠化的分形研究应用实例之三：R/S分析法在城市气候研究中的应用分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科——分形地理学。分形的有关概念(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。(2)特征尺度,是指某一事物在空间，或时间方面具有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度,分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区，用来表征的特征量是分形维数。分形维数的定义和测算维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。几种测定分维数(1)拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式2)21(14)21(N2)41(116)41(N22)1(1)1(kkkN若r=1/4，则当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r的关系为变形得定义为拓扑维数drrN1)()/1ln()(lnrrNd（2）Hausdorff维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：)/1ln()(lnlim00rrNDr上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。两个实例可以用分形模拟真实的海岸线。首先在单位长度的一条直线的中间1/3处凸起一个边长为1/3的正三角形，下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个边长为(1/3)2的正三角，如此无穷次地变换下去，最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分形。每次变换所得到的图形，相当于用尺度r对海岸线分形进行了一次测量，如果设尺度r测得覆盖海岸线的盒子数为N(r)，海岸线的长度为L(r)，有：当r=1/3时，当r=(1/3)2时，……………当r=(1/3)n时，根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是显然，L(r)与N(r)之间的关系是所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在34)(4)(rLrN，22)34()(4)(rLrN，nnrLrN)34()(4)(，2618.13ln4ln)/1ln()(lnlim00rrNDrrrNrL)()(的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合，拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0,1)区间上的线段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是63093.03ln2ln)/1ln()(ln0rrND(3)信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为Pi，那么用尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D1的定义)(1lnrNiiiPPI)/1ln(lnlim)(101rPPDrNiiir如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1D0。NPi1)/1ln(lnlim)/1ln(1ln1lim0101rNrNNDrNir(4)关联维数空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间的维数即所谓的关联维数。分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变量共同作用而产生的。为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演化序列，然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为{x1，x2，x3，…，xi，…}，就可以用这些数据支起一个m维子相空间。方法是，首先取前m个数据x1，x2，…，xm，由它们在m维空间中确定出第一个点，把它记作X1。然后去掉x1，再依次取m个数据x2，x3，…，xm+1，由这组数据在m维空间中构成第二个点，记为X2。这样，依此可以构造一系列相点)()()()(354424331322211mmmmxxxXxxxXxxxXxxxX，，，：，，，：，，，：，，，：把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，NjijijiXXrNrC1,2)(1)(0001)(xxx，，为Heaviside阶跃函数若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称为关联维数，用D2表示，即DrrC)(rrCDrln)(lnlim02标度律与多重分形(1)标度律分形的基本属性是自相似性。表现为，当把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变，只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因子，这种尺度变换的不变性也称为标度不变性，是分行的一个普适规律。有)()(1)(00rNrrNDD海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，为标度指数。上式表明，把用尺度r测量的分形长度L(r)再缩小(或放大)λα倍就和用缩小(或放大)了的尺度λr测量的长度相等。最重要的是这种关系具有普适性。究竟普适到什么程度是由标度指数α来分类的，这称为普适类。具有相同α的分形属于同一普适类，同一普适类的分形也具有相同的分维D0。)()()()(01rLrNrrrNrLD01D一般情况下，可以把标度律写为f是某一被标度的物理量，标度指数α与分维D0之间存在着简单的代数关系d为拓扑维数。质量均匀分布的Cantor集合：取一个长度r0=1，质量P0=1的均匀质量棒，分为两段，各段质量P1=P2=1/2，再将每段变为长度r1=1/3，线密度ρ1=P1/r1=3/2的均匀棒。自相似变换，第二步可获4段小棒，长度r2=(1/3)2，质量P2=(1/2)2，线密度ρ2=P2/r2=(3/2)2，…，到第n步，共有N=2n个小棒，每一个长度为ri=3-n，质量为Pi=2-n，线密度为ρi=Pi/ri=(3/2)n(i=1,2,…,N)，)()(rfrf0Dd11NiiP整个过程中，总质量守恒如果把看作概率，上式就是归一条件。对每一小棒给以标度其中α为标度指数。把每一小棒的长度及质量同时代入，可以算得这种均匀分布的Cantor集合，其标度指数α是一个常量，并且α=0-D0，为单标度，分形称为单分形。iirP63093.03ln2ln1iiiirrP（2）多重分形对于非均匀分布的分形，可以看作由单分形集合构成的集合，它的标度指数α和分维D都不再是常量，这样的分形称为多重分形。理想的表达方法是，把α看作是连续变化的，在α和α+dα这个间隔是一个以单值α为特征和分维为f(α)的单分形集合，把所有不同α的单分形集合相互交织在一起就形成多重分形。Cantor集合，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为质量分别为，，右两段的长度分别为，，质量分别为，；如此操作下去就会得到一个不均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。21r21rr21P21PP12rr22r12PP22P最后每段线条的质量相当于二项式展开中的一项，。因此可以用P1的q阶矩取代单分形中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一个参数q，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数，它可以取从-∞到+∞的一切实数值。nPP)(21niqiP)/1ln(ln11lim0rPqDiqirq