点关于直线的对称点的一种公式求法

点关于直线的对称点的一种公式求法上海市奉贤中学王志和读了本刊文（1），很有收获。文（1）说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式：结论：设直线:l0cbyax，（a、b至少有一个不为0），点),(00yxA关于直线l的对称点的坐标是),(11yxB，则2200221220022122)(22)(babcabxybaybaacabyxabx；这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。将以上的220022122)(baacabyxabx变为：O220020221222)(baacabyxaxabx22000)(2bacbyaxax2200220)(2bacbyaxbaaxdbaax2220，（其中2200bacbyaxd的绝对值是点),(00yx到直线l的距离）同理：dbabyy22201，于是点),(00yxA关于直线l的对称点是dbaaxB2(220，)2220dbaby，OxyABdde图一其中的向量),(2222babbaae是直线l的法向量),(ba的单位向量，如图，设点A到直线l的距离是d，则dbaaxB2(220，)2220dbaby意思是将点),(00yxA按单位法向量),(2222babbaa的方向向直线l的“对面”移动d2个单位便得到A关于直线l的对称点B，从图中看得更明显。因而，对称点dbaaxB2(220，)2220dbaby既是求对称点的公式，也是沿法向量平移d2个单位而得到对称点的方法。例1求点)3,1(B关于直线：0232yx的对称点A的坐标；解法一：公式法，设)3,1(B关于直线：0232yx的对称点坐标为11,(yxA）依照上述公式得：133313)292(213211x，13913)292(213331y，所以对称点是)139,1333(A。解法二如图一，点B到直线l的距离是135d，点B在直线l的上方，直线l的单位法向量是e=)133,132(，沿此方向将点)3,1(B平移13102d个单位便得到对称点)139,1333(A；例2已知点),(00yxA，（1）求A关于直线0cyx的对称点坐标；（2）求A关于直线0cyx的对称点坐标；解（1）设对称点),(11yxB，则由求对称点公式得：cycyxxx000012)(221，cxcyxyy000012)(221，所以对称点是),(00cxcy；（2）cycyxxx000012)(221，cxcyxyy000012)(221即对称点是：),(00cxcy；参考文献：（1）姚格，圆锥曲线的轴对称图形方程的求法，数学教学，2009年第9期。