平面向量的线性运算

平面向量线性运算知识梳理：1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向．2．向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ba,等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ji,作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得),(,yxjyixa叫做向量a的（直角）坐标，记作),,(yxa其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，22||).0,0(0),1,0(),0,1(yxaji；若),(),,(2211yxByxA，则),(1212yyxxAB，212212)()(||yyxxAB．3．零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||aa就是单位向量）．4．平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量cba,,平行，记作cba////.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．6．向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量加法的三角形法则和平行四边形法则．②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：)(baba；差向量的意义：,,bOBaOA则baBA．③平面向量的坐标运算：若),,(),(2211yxbyxa则),(2121yyxxba).,(,yxa④向量加法的交换律：abba；向量加法的结合律：)()(cbacba．7．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a（1）||||||aa；（2）0时a与a方向相同；0时a与a方向相反；=0时a=0；（3）运算定律.)(,)(,)()(babaaaaaa练习：1．化简)]24()82(21[31baba的结果是（）A．ba2B．ab2C．abD．ba2．已知正方形ABCD边长为1，,,,cACbBCaAB则cba的模等于（）A．0B．3C．22D．23．已知22a,3b,ba与的夹角为4,则以bae25,baf3为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A.15B.15C.14D.164．O是ABC所在平面内一点,满足2OBOCOBOCOA，则ABC为（）A、直角三角形B、等腰直角三角形C、斜三角形D、等边三角形5．已知点C在线段AB的延长线上，且则,,2CABCABBC等于()A．3B．31C．3D．316．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()．A.23B.13C．－13D．－237．平面上不共线的4个点A，B，C，D.若(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．向量OMBCBOMBAB)()(化简后等于（）A．BCB．ABC．ACD．AM9．在△ABC中,D、E、F分别BC、CA、AB的中点,点M是△ABC的重心，则MCMBMA等于（）A．OB．MD4C．MF4D．ME410．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP（）A．().(0,1)ABADB．2().(0,)2ABBCC．().(0,1)ABADD．2().(0,)2ABBC11．如左图，在ABC△中，3BCAB，30ABC，AD是边BC上的高，则ACAD的值等于（）A．0B．49C．4D．4912．已知向量),4,1(),3,2(baa则b在a方向上的投影等于（）A．1313B．1313C．22D．213．已知1OA，3OB，0OBOA，点C在AOB内部，且.300AOC设),(RnmOBnOAmOC，则nm（）A.31B.33C.3D.314．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若aAC,bBD,则AF（）A．1142abB.2133abC.1124abD.1233ab15．O是平面上一定点,,,ABC是平面上不共线的三个点,动点P满足(),[0,),||||ABACOPOAABAC则P的轨迹一定通过△ABC的A．外心B．内心C．重心D．垂心16．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a100OA→＋a101OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于________．17．已知a、b是非零向量，指出下列等式成立的条件：①abab成立的条件是__________；②abab成立的条件是_________；③abab成立的条件是________；④abab成立的条件是_____________。18．已知平面上三点CBA、、满足3AB,，5CA,CABCBCABABCA=19．已知)2,4(),5,1(BA，直线01:yxl，直线AB与l交于点P，则点P分AB所成的比=20．已知1e，2e是两个不共线的向量，122aee，12kbee．若a与b是共线向量，求实数k的值．21．如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,求λ+μ的值.22．（1）如图,,OAOB不共线,()APtABtR用,,OAOB表示OP.（2）设,,OAOB不共线，点P在,,OAB所在的平面内，且(1)().OPtOAtOBtR求证：,,ABP三点共线.