31数列求和专题

数列求和专题1.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn例求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。111111naa111nnnaaa例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：2.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列可求出前n项和则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc{}nc{}nbbscs{}na例3.求下列数列的前n项和（1）111112,4,6,,248162nn解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn3.拆项相消法（或裂项法）：若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（）则可用如下方法求前n项和.111()nnnambb111()nnnambbns}{nannaaaas32112321111111()()()nnmmmbbbbbb例4、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相消法11×3=（-213111）1111()35235例4、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn)(11.5bababa1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn1123nann练习：求的前项和{}na{}nbnnncab{}nc{}nc123112233nnnnSccccabababab4.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不等于1），数列满足：则的前n项和为：5.倒序相加法：例7.求和：.110108339221011222222222222对某些前后具有对称性的数列，可运用倒序相加法求其前n项和.通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n项和的一种基本方法．6、通项分析法111111122411112425.nnS求和例12122nnnS例8练习2211121221222,(),(),)nn2.求数列（的前项和。∴12nSaa…na22121()()21()n…222…2nn12122212()nnnn211222nna解：…1212121()nn1.求数列5,55,555,…,555…5的和n个51019nna151010981nnSn练习：1111(1).147[(32)]2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx2222123123357,,,.nknSaaak选作：设a，则数列的前项和114313212114nnSn