1单自由度系统振动总结与习题解析

1机械振动的分类自由度阻尼外激力响应单自由度无阻尼自由简谐多自由度粘性阻尼强迫周期连续体流体阻尼自激瞬态摩擦阻尼参数随机振动类型力学模型振动方程及响应典型响应曲线主要特性无阻尼自由振动0KxxMtxtxxnnsincos00n系统振动的固有频率。nf2=MK=g＝eeMK无阻尼强迫振动tPKxxMsin0.022cossinsinsin11onnnststnnnnxxxttxxtt稳态强迫振动的振幅A和静态力作用下的位移的关系：stxxAmax动力放大系数2)(11nn，共振接近n，拍振粘性阻尼自由振动0KxxCxM000(cossin)ntndndndxexxnxtMCn2，21nnndn，阻尼比cnCCn，cC称为临界阻尼系数，对数衰减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度ddmmnTTtnntmmneAeAexxL1简谐激力下的粘性阻尼系统强迫振动)sin(0tPKxxCxM)sincos()(000tnxxtxetxndndndtn[sin()coscos()sin()sin]ntndndndeAtnt)sin(tA第一项为自由振动项，完全由初始条件决定；第二项称为伴随自由振动项，它由干扰力引起，但其振动频率为有阻尼自由振动频率，这两项均为自由振动部分；第三项是干扰力引起的纯强迫振动，是频率与干扰力频率相同的简谐振动。1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并且不随时间t而变。2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相同，与阻尼无关。3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫振动的振幅比系统在静力0P作用下引起的静位移stx大倍（称为动力放大系数）。222)2()1(1任意激力下系统强迫振动000cos()sinttndntndndxtxtexnxt()1()sin()tntndondPetdM当力的作用时间21Tt，最大动力响应发生在2Tt处，反之由在力的作用结束之后出现。一、求振动方程单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点：一、求振动方程单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点：一、求振动方程单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点：二、固有频率求法单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点：1、静伸长法nKgM2、等效法eneKM212eeTTMxM真实等效＝＝212eeVKxK真实等效＝V＝动能：势能：3、能量法2max12VKA2max12nTMAmaxmaxnVT二、等效刚度计算方法单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点：并联弹簧：串联弹簧：12eKKK1212eKKKKK212eeVKxK真实等效＝V＝2、求如图所示系统的自由振动的频率解：ke=kk1211=k32；wn=eemk=MK323、求等效刚度Ke解:等效系统简图:Mk=w由图可求:k11(a+b)=w.b1=babkw1k22(a+b)=w.a2=2Kwbaa3=2+).(21bab3=)(.2bakaw+2)(bab(211kakb)3=2212212)()(bakkkbkawwke3；2212221)(kbkabakkke4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。解：用牛顿定律，对质量m：mgTmx①对滑轮M：200()JTrkr②式中，2012JMr是滑轮的惯性矩。在静平衡位置，20mgrkr，因此②变为：221()2Mrrmgmxkrmgr用r代替x，r代替x，运动方程变为：2221()02Mrmrkr所以，固有频率/2nkMm转动问题：1）列力的动平衡方程2）列矩的动平衡方程3）得运动方程4）定义求固有频率5下图表示一质量m系在弦上并具有张力T。假定小变形，振动时张力不变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。解：张力为常数，小变形，故复原力为：[//()]TxaxLa应用牛顿第二定律，得运动方程：[//()]0mxTxaxLa，即/[()]0mxTLaLax()nTLmaLa3、如下图所示的，带有集中荷重WMg的简支梁中，梁的自重为Qql(q为梁每单位长度的重量)，用能量法决定其固有频率。（假定梁在振动时的挠度曲线为()sinyxAxl）解：假定一个梁在振动时的挠度曲线：xlAxysin)(假设梁按简谐规律振动，则梁上各点的振动位移为)sin(sin),(txlAtxvn因此梁上各点的速度分布为)cos(sin),(txlAtxvnn因而动能最大值为dxxlAgqAMTnln2022max)sin(2121)21(2122gQMAn在最大振幅位置maxV232482121AlEIKA由maxVmaxT求得：n=32148lgQMEI4、细杆OA可绕水平轴O转动，如图，在静平衡位置时成水平，杆端重锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可忽略不计，求自由振动的固有周期。解:为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成a,l,T=2)(21lm；U=2)(21ak令Asin(tn)Amax)sin(nAnATmaxmaxU；222222.2121nAKaAmlnlamk；周期T=al2km利用等效能量法求图示系统的固有频率解:真实系统:T=21m1(xll42)2+2.221xmU=243.22411).(21).(21xllkxllk等效系统Te=2.21xmeVe=221xkeT=Teme=m2+m1(42ll)2V=Veke(41ll)2+k2(43ll)22212423322112lmlmlklkn一质量为m、半径为r的圆柱体用常数为k的弹簧连接，如图所示。若它沿粗糙的水平表面无滑动地自由滚动，试用能量法求它的固有频率。解：系统的总动能由转动动能和平移动能组成，即2022121JxmT0J为圆柱体的惯性矩2021mrJ，同时有xr，xr因此系统在任何时候，动能222220243))(21(21212121xmrxmrxmJxmT系统的位能为221kxV由于0)(dtVTd，所以可得0)23(xkxxm因为x不可能总等于零，因此运动方程为023kxxm故有mkn32质量为110kg的机器固定在刚度为2×106N/m的弹性基础上，当机器的运作频率为150rad/s时，机器产生1500N的简谐激振力，机器的稳态振幅测得为1.9mm，则基础的阻尼比为多少？解：系统固有频率为8.1341101026mknrad/s因为stxA，所以53.215000019.08.13411020220FAmmFAxAnnst当运动频率为150rad/s时，113.18.134150n又因为222)2()1(1所以142.0)113.11(53.21113.121)1(121222222当m为多大时，如图所示系统才发生共振？解：以静平衡位置为原点建立坐标，并设m向右移动x，则021xkxkxm，即0)(21xkkxm所以系统的等效刚度为521103kkkeN/m当激振力频率和系统固有频率相等时，共振才会发生，即mken50，所以1205010350252ekmkg作业