幂函数

学习目标1、掌握幂函数的概念。熟悉时，幂函数的图像和性质。2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结论，培养发现问题、解决问题的能力。重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.()yxR问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x（千克）之间有何关系？问题2:如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝？问题3:如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y＝？问题4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y＝？问题5:如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=？（千米/秒）问题情境以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-12.、定义域没有固定，与的值有关几点说明:一、一般地，函数叫做幂函数，其中x为自变量，为常数。yx3.幂函数中的，可以为任意实数。1.1yxx中前面的系数为，并且后面没有常数项。幂函数与指数函数的对比式子名称axy指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x421)2(xy(3)y=-xe21)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2判一判xy1)8((x-1)2)7(y=对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3,，–1情形。21幂函数性质的探究：探究1：结合前面研究指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质12132,,,,xyxyxyxyxy即：21312,,,,xyxyxyxyxyxyo12-1-212-1-22xyo-11231-1xyxy1xyxy12-2-1-121二、我们重点研究:o对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找关键点来作图。xy3xyoxy21xyo112-1-211-1-1-2-2-121xyx21xy234615.001271.041.173.145.20描点法作图-1-1x3xy5.138.35.005.015.113.0013.038.313xy名称图象定义域值域奇偶性单调性xyOxy11xy-1-1Oxy11-1-12xyOxy11-1-13xyOxy11-1-1RRR[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0,+∞)↑(-∞,0)↓(-∞,+∞)↑(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞,0)↓(0,+∞)↓1xyOxy11-1-1(-∞,0)∪(0,+∞)21xyR[0，+∞）[0，+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)R4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，a0,在(0,+∞)上为增函数;a0,在(0,+∞)上为减函数.幂函数的图象都通过点(1,1)α为奇数时,幂函数为奇函数,α为偶数时,幂函数为偶函数.幂函数在(0,+∞)都有定义(1)所有的幂函数图象恒过点(1,1);幂函数的性质1xyo110101(5)图像不过第四象限.(2)＞０在第一象限内递增;若＜０，在第一象限内递减.(3)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．(4)＞1时，图象下凸;当0＜＜1时，图象上凸(6)第一象限内,当x1时，越大图象越高0110图象特点性质oyx11oyx11oyx11在[0，+∞)为单调增函数.（慢增）在[0，+∞)为单调增函数.（快增）在（0，+∞)为单调减函数.(慢减)都经过定点（1，1）2221y=(m22)23mmxn例，已知函数是幂函数，求m,n的值。2m22=1230mn解：由题意得313322mmnn解得，或331n=2m或，求函数解析式已知函数是幂函数,并且是偶函数，求m的值。22233)(mxmmxf是幂函数因为解22233)(:mxmmxf1332mm12:mm或解之得是偶函数又因为)(xf舍去不符合题意，m12m练习1123()()aafxkxfxx借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．如函数是幂函数，求f(x)的表达式，就应由定义知必有k=1，即．总结.,,,,233325334xyxyxyxyxy像例：作出下列函数的图xyo34xyox53xyoxy32xyoxy3xyxyo23xy幂函数的图像下列是y＝x的图象的是√23练习幂函数的图象先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；例3：比较下列各题中两数值的大小①1.73,1.83②0.8-1,0.9-1②∵幂函数y=x-1在(0,+∞）上是单调减函数.解：①∵幂函数y=x3在R上是单调增函数。又∵1.71.8∴1.731.83又∵0.80.9∴0.8-10.9-1拓展:比较下列两个代数式值的大小：32xy解：（1）考察幂函数在区间[0,+∞)上单调增函数.因为所以（2）考察幂函数在区间(0,+∞)上是单调减函数.因为所以5.1xyaa15.15.1)1(aa222a323222)2(a32325.15.12,)2)(2(;,)1)(1(a2aa设a=0.20.3,b=0.30.3,c=0.30.2,则（）A.abcB.abcC.acbD.bac练习分析：比较a,b的大小，需利用幂函数y=x0.3的单调性；比较b,c的大小，需利用指数函数y=0.3x的单调性。B总结幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．证明幂函数在［0，+∞）上是增函数.()fxx用定义证明函数的单调性的步骤:(1).取数:设x1,x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;(2).作差:f(x1)－f(x2)，(3)变形:(4).判断f(x1)－f(x2)的符号；(5).下结论.证明：任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1＜x2，则)()(2121xxxfxf))((212121xxxxxx2121xxxx注意:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。.),0[)(上是增函数在所以幂函数xxf)()(,0,0212121xfxfxxxx所以因为1122.432,.mmm例5若则求的取值范围.,23314230,),0()(:21的取值范围即为且在定义域上是减函数的定义域是幂函数解mmmmxxf幂函数的综合应用24152123xx　　　　（）求函数的定义域、值域；（）判断函数的奇例6，已知函偶性；（）求函数的单数y=－－调区间．2422152t115205316101602txxyxxtx解析：这是复合函数问题，利用换元法令＝－－，则＝　　（）由－－得函数的定义域为［－，］，　　＝－（－）［，］．函数的值域为［，］．253（）函数的定义域为［－，］且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数．3531[-5110165113xytyty（）函数的定义域为［－，］，对称轴为＝，　　增区间为，）；减区间为（，3]又函数＝在［，］时，随的增大而增大，　　函数＝的单调增区间为［－，］，单调减区间为（，］．1、幂函数的定义：形如y=xα的函数叫幂函数。以自变量x为底数；指数为常数；自变量x前的系数为1；只有一项。2、与指数函数的区别：看未知数x是指数还是底数若x是指数，则它是指数函数，如y=2x若x是底数，则它是幂函数，如y=x23、幂函数定义的应用①判断哪些函数是幂函数②根据幂函数的定义求参数的值③用待定系数法求幂函数的解析式小结4、幂函数图象(在第一象限）oxy1111oy