2010-2015年参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编

选修4-4参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编1．（2010·江苏高考·Ｔ2１）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．【思路点拨】将圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为普通方程后求解.【规范解答】∵ρ=2cosθ，∴22cos，圆的普通方程为：22222,(1)1xyxxy，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为340xya，又圆与直线相切，所以22|3140|1,34a解得：2a，或8a．2（2010·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=25sinθ．(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C与直线l交于点,AB．若点P的坐标为(3，5)，求PAPB．【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．【思路点拨】（1）求圆的标准方程，（2）写出直线的一般方程，联立圆与直线的方程可求出A，B的坐标，进而求出|PA|+|PB|的值．【规范解答】（1）由ρ=25sinθ，得ρ2=25ρsinθ，∴x2+y2=25y,所以5)5(5)552(2222yxyyx.（2）直线的一般方程为03553yxyx，容易知道P在直线上，又5)55(322，所以P在圆外，联立圆与直线方程可以得到：)25,1(),15,2(BA，所以|PA|+|PB|=32.3．（2010·辽宁高考理科·Ｔ23）已知P为半圆C：cossinxy（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为3.（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程.【命题立意】本题考查了点的极坐标，以及直线的参数方程，考查计算能力和转化与化归能力．【思路点拨】（1）由M点的极角和极径，直接写出点M的极坐标．（2）先求点M的直角坐标，再用直线的参数方程写出所求直线的参数方程．【规范解答】（1）由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3，故点M的极坐标为（3，3）.（2）M点的直角坐标为（3,66），A（0,1），故直线AM的参数方程为1(1)636xtyt，（t为参数）.4（2010海南宁夏高考理科T23）已知直线1C:，（t为参数），圆2C:(为参数)，（1)当=3时，求1C与2C的交点坐标；（2）过坐标原点O作1C的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【命题立意】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的灵活转化.【规范解答】（1）当3时，C1的普通方程为3(1)yx，C2的普通方程为221xy.联立方程组解得C1与C2的交点为（1,0），13(,)22.（2）C1的普通方程为sincossin0xy.A点坐标为2(sin,cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为P点轨迹的普通方程为2211()416xy故P点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆.5（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy，（为参数），M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的方程.(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【思路点拨】第（Ⅰ）问，2OPOM意味着Ｍ为OP,的中点，设出点P的坐标，可由点M的参数方程（曲线1C的方程）求得点P的参数方程；第（Ⅱ）问，先求曲线1C和2C的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线3＝与1C的交点A的极径1，求得射线3＝与2C的交点B的极径2，最后只需求AB｜｜＝21|｜即可.【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M(,22xy).由于M点在C1上，所以2cos,222sin2xy即4cos,44sin,xy从而2C的参数方程为4cos44sinxy，（为参数）.（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin.射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3.所以.6.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）,M是C1上的动点，P点满足2OPOMuuuvuuuv,P点的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的方程.(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【思路点拨】第（Ⅰ）问，2OPOM意味着Ｍ为OP的中点，设出点P的坐标，可由点M的参数方程（曲线1C的方程）求得点P的参数方程；第（Ⅱ）问，先求曲线1C和2C的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线3＝与1C的交点A的极径1，求得射线3＝与2C的交点B的极径2，最后只需求AB｜｜＝21|｜即可.【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M(,22xy).由于M点在C1上，所以2cos,222sin,2xy即4cos,44sin.xy从而2C的参数方程为（为参数）.（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin.射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3.所以21ABrr23.=-=7.（2011·福建高考理科）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x3cosysin，（为参数）.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2π），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.【思路点拨】（I）将点P的极坐标化为直角坐标，然后代入直线l的方程看是否满足，从而判断点P与直线l的位置关系；（II）将点Q到直线l的距离转化为关于的三角函数式，然后利用三角函数的知识求最小值.【精讲精析】（I）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标得点(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程40xy，所以点P在直线l上.（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos,sin)，从而点Q到直线l的距离为2cos()4|3cossin4|62cos()22,622d由此得，当cos(+)16时，d取得最小值，且最小值为2.8.（2012·新课标全国高考真题）已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3.（1）求点,,,ABCD的直角坐标.（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，B，C，D的坐标.（2）由1C方程的参数式表示出|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2关于的函数式，利用函数的知识求取值范围.【解析】（1）由已知可得2cos,2sin,2cos,2sin333232AB，332cos,2sin,2cos,2sin333232CD，即1,3,3,1,1,3,3,1ABCD.(2)设2cos,3sin,P令2222SPAPBPCPD，则2216cos36sin16S23220sin.因为20sin1,所以S的取值范围是32,52.9（2012·辽宁高考真题）在直角坐标系xOy中，圆221:4Cxy，圆222:(2)4Cxy.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,CC的极坐标方程，并求出圆12,CC的交点坐标(用极坐标表示).(2)求圆12CC与的公共弦的参数方程.【解题指南】将直角坐标方程化为极坐标方程，联立，求得交点极坐标.【解析】(1)圆1C的极坐标方程为2；圆2C的极坐标方程为4cos；联立方程组24cos，解得2,3.故圆1C，2C的交点极坐标为(2,),(2,)33.（2）由2,3，及cossxyin得13xy，1,3,xy圆1C，2C的交点直角坐标为(1,3),(1,3).故圆1C，2C的公共弦的参数方程为1(33)xtyt.10（2012·江苏高考真题）在极坐标系中，已知圆C经过点24P，，圆心为直线3sin32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．【解析】∵圆C圆心为直线3sin32与极轴的交点，∴在3sin32中令=0，得1.∴圆C的圆心坐标为（1，0）.∵圆C经过点24P，，∴圆C的半径为2221212cos=14PC.∴圆C经过极点，∴圆C的极坐标方程为=2cos.11.（2013·新课标全国Ⅱ高考真题）已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxttyt为参数上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程.（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，可得参数方程.(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.【解析】（1）依题意有2cos,2sin,2cos2,2sin2,PQ因此coscos2,sinsin2M.M的轨迹的参数方程为coscos2sinsin2xy2为参数，0（2）M点到坐标原点的距离2222cos,02dxy.当时，0d，故M的轨迹过坐标原点.12（2013·新课标Ⅰ高考真题）已知曲线C1的参数方程为45cos,55sin,xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【解析】将tytxsin55cos54消去参数t，化为普通方程25)5()4(22yx,即1C：01610822yxyx.将sincosyx代入01610822yxyx得016sin10cos82.（Ⅱ）2C的普通方程为0222yyx.由020161082222yyxyxyx，解得