弹塑性力学

工程弹塑性力学第五章简单应力状态的弹塑性问题5.1应力－应变的简化模型5.2理想弹塑性材料的简单桁架5.3线性强化弹塑性材料的简单桁架2塑性变形有以下特点：(2)、由于应力—应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或称为耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。(3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。5.1应力－应变的简化模型31.理想弹塑性模型||sE用应变表示的加载准则：加载:卸载:OssE0,signsd0,ddEd1,0sign0,01,0符号函数:公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；在＝s处解析式有变化，给具体计算带来困难;理想弹塑性模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。缺点:优点:5.1应力－应变的简化模型42.线性强化弹塑性模型（材料有显著强化率）0,/dddE||,/sE110,(||)()signsdEEEOssEE’加载:卸载:5.1应力－应变的简化模型52.线性强化弹塑性模型用应变表示的加载准则：OssEE’0,ddEd||,sE0,[(||)]signssdE加载:卸载:在许多实际工程问题中，弹性应变塑性应变，因而可以忽略弹性应变。5.1应力－应变的简化模型6*刚塑性模型（忽略弹性变形）(b)线性强化刚塑性模型OsOs,0s当时(a)理想刚塑性模型1,0sE当时特别适宜于塑性极限载荷的分析。总应变较大，epee=5.1应力－应变的简化模型75.1应力－应变的简化模型卸载后反向加载，s’’s’——Bauschinger效应OBAss’s’’B’B’’O’拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。3.反向加载应力-应变简化模型81).等向强化模型拉伸和压缩时的屈服极限相等|||)|(pdOBAss’s’’B’B’’O’2).随动强化模型拉伸和压缩的弹性范围不变3.反向加载应力-应变简化模型|()|psH||psc等向强化：OABB’’随动强化：OABB’(5.16)例：线性强化的情形(5.17)(5.18)塑性应变按绝对值进行累积5.1应力－应变的简化模型90:/0;0.51.5:51;'1.50:5149.5OOssOBCBsssCssEEEEBA1.5sssCDEO0.5sFs解：例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5s0–s0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E’E/100，试求出对应的应变路径。0.50.5:49;sDsCDsE0.5:4950'sEDssEssE0:0.FEFsE应变路径为：051s/E49.5s/E–s/E010BA1.5s1.2ssCDEO0.5sFs例题2.已知应力路径：01.5s0–1.2s0；强化模量E’=E/100，试求出对应的应变路径。0.50.5:49;0.71.2:21'1.20:19.8sDsDCssEsEDssFFEsEEE应变路径：解：051s49.5s–21s–19.8s115.2理想弹塑性材料的简单桁架hhldl01Pq23三杆桁架结构A平衡方程：如图，三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。消去N3，并用应力表示：(5.26)13NN123coscosNNNPqq122cos/PAq变形协调关系：22111/cos/cosllldqq212cosq(5.27)12一、弹性阶段（PPe）•应力-应变关系：232121(12cos)cosPAqq221,cossseePPPPq（Pe：弹性极限荷载）联立(5.26)(5.29)11E22E(5.28)(5.29)(5.30)(5.31)当2=s时，桁架内将出现塑性状态，相应的荷载为弹性极限荷载Pe3(12cos)esPPAq(5.32)对应A点位移为:2sellEd(5.34)(5.33)(5.30),(5.31)变为3(12cos)/esAPq5.2理想弹塑性材料的简单桁架131()/(2cos)sPAq1122coscoscossesllEddqqq二、弹塑性阶段（PPe）（塑性流动阶段）约束塑性变形阶段：杆2已屈服，杆1、3仍为弹性2s塑性流动阶段：3杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载(12cos)ssPAq点A的位移：(5.38)122cos/PAq(5.35)(5.36)123s(5.37)5.2理想弹塑性材料的简单桁架14弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载-挠度曲线：312cos,12cossePPqq理想弹塑性线性强化d/deP/PeP1/PePs/Pe1.0011/cos2q(5.39)21cosseddq5.2理想弹塑性材料的简单桁架15卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP，则由式(5.33)得2212211,cos/,/sseePPPPEEqDDDDDDDD三、卸载若加载至P*（PeP*Ps）再卸载至零，即DP=P*，则残余应力和应变为(5.40)***0*2111()/(2cos)cos(1)/(2cos)0ssseePPPAPPqqqD*0*2220*011110*022221(1)0/0/cos0sePPEqDDD整体处于弹塑性阶段时杆1的应力弹性阶段的应力hhldl01Pq23A(5.41)对于超静定结构，卸去外荷载后，残余应变≠塑性应变，它含有弹性应变。5.2理想弹塑性材料的简单桁架16•从P*卸载至零的过程为弹性变形过程，从零再重复加载到P*（P*Pe），此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。四、重复加载•这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态。5.2理想弹塑性材料的简单桁架175.3线性强化弹塑性材料的简单桁架联立平衡和协调方程可求得平衡方程与协调方程不变加载过程，物理方程改变部分：';=()sssE1.弹性阶段(PPe)：与理想弹塑性相同2.约束塑性变形阶段(PPe)：'22=()ssE3213'3'223'3'23'21212coscos(1)12cos/(12cos)/cos(1)12cos/(12cos)/1/2cos/cosseseeesPEEPEEPEEPPPEEEEqqqqqqqddqq(5.42)(5.43)1821'tan1(12cos)sPEPEqq(杆1、3进入屈服)3.塑性流动阶段(PPe)：'21(12costan/)sPAEEqq1s323'12coscos(1)12cos/ssePEEPqqq2(12cos)esPAq(5.44)与理想弹塑性材料的比较：(5.45)如考虑中等强化情形:'1/1/10,30,/1.041sEEPPq说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。5.3线性强化弹塑性材料的简单桁架19考虑随动强化，加载应力范围为2s，即要求D22s，4.卸载：仍按弹性规律变化卸载后杆2转为压应力，是否会进入压缩塑性状态？*0*222(1)0sePPD*(1)ssePP*2ePP02s最大安定荷载5.3线性强化弹塑性材料的简单桁架20aN1bPN2例题3.图示等截面杆，截面积为A，在x=a(ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至PeP*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为:(1)理想弹塑性；(2)线性强化弹塑性。解：12NNP平衡方程：12/PA120ab变形协调方程：(1)理想弹塑性12120baba•弹性阶段：11/E22/E代入变形协调方程，可得：21•弹塑性阶段：由1=s，并利用平衡方程得：22//ssPAPA22sssPA时进入塑性流动，故1(1)sesaPAb时达到弹性极限，故联立平衡方程，可得：12,()()PbPaabAabA22**0*111*0*22200*222200*2111(1)0()**(1)0()00ssessePbPabAPPPaPAabAPEbaEDDDD•残余应力和应变为•卸载：加载至PeP*Ps时卸载，即DP=P*。因卸载符合弹性规律，故12**,()()PbPaabAabADD23