弹塑性力学作业(含答案)

1第二章应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知σx=-10σy=-4τxy=-2（以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos2sin22210410413cos602sin6073222226.7686.77()104sin2cos2sin602cos602231323.5983.60()22xyxyxyxyxyMPaMPa代入弹性力学的有关公式得：己知σx=-10σy=-4τxy=+23030()cos2sin22210410413cos602sin6073222226.7686.77()104sin2cos2sin602cos602221323.5983.60()22xyxyxyxyxyMPaMPa由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。2—6.悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz=γ·A·z；c截面上的应力：zzNAzzAA；所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：δy题图1-3τxyx30°10n24xO10yTτ30°δ30°2zzzEE；则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：22zzzzzzzzyzzldlddzdEEE；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：2222llAllWlldlEEAEA　；（W=γAl）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij=50030080030003008003001100应力单位为kg／cm2。试确定外法线为ni｛13，13，13｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力nP、正应力σn及剪应力τn。解：首先求出该斜截面上全应力nP在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nzPx=xxyxzn＇=215381003Py=yxyyzn＇=213031003ooclxzzdzNz题—图163Pz=zxyzzn＇=2183111003所以知，该斜截面上的全应力nP及正应力σn、剪应力τn均为零，也即：Pn=σn=τn=02—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：σx=ax+by，σy=cx+dy-γy，τxy=-dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：l1=-1；l2=0；Tx=γ1y；Ty=0则σx=-γ1y；τxy=0代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay并注意此时：x=0得：b=-γ1；a=0；OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0则：cossin0cossin0xxyyxy………………………………（a）将己知条件：σx=-γ1y；τxy=-dx；σy=cx+dy-γy代入（a）式得：1cossin0cossin0ydxbdxcxdyyc化简（b）式得：d=γ1ctg2β；化简（c）式得：c=γctgβ-2γ1ctg3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103σy=10×103τxy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：222231.2333312101210610222217.08310113710116.0828104.9172410xyxyxyPa则显然：3312317.083104.917100PaPaσ1与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）xOγyβBAnβγ1y422612sin22612102cos2xyxytg显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376°则：θ=+40.268840°16＇或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：221ab；20；223ab；设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。21222232321222232321222322122010203xyxxzxzyxyyzzyzxzyzyxzylllllllllllll以及：22221222314lll由（1）（2）得：l23=0由（3）得：2122lalb；2221lbla；将以上结果代入（4）式分别得：21222222211111alabblal；22222221221111blabalbl；2122allb222222bablaabab同理2122alab于是主应力σ2的一组方向余弦为：（22aab，22bab，0）；σ3的一组方向余弦为（2222bab，2222aab，22）；2—20.证明下列等式：（1）：J2=I2+2113I；（3）：212iikkikikI；5证明（1）：等式的右端为：22211223311231133II222123122331122331122232221231223311223312466662221231223312622222211222233331112226222122331216J故左端=右端证明（3）：212iikkikikI右端=12iikkikik222222122xyzxyyzzxxyzxyz2222222221222xyzxyyzzxxyzxyyzzx2222xyyzzxxyyzzxI2—28：设一物体的各点发生如下的位移。012301230123uaaxayazvbbxbybzwccxcycz式中a0、a1………c1、c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：1xuax；2yvby；3zwcz；12xyuvbayx；23yzvwcbzy；31zxuwacyx；2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。（1）：22232010410uxvyx在（0，2）点处；6（2）：22222615103210810uxwzxyvzy在（1，3，4）点处解（1）：2610xuxx2410yvxy20410xyuvyyx在（0，2）点处，该点的应变分量为:0xy；2810xy；写成张量形式则为：204040010000ij；解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。2212101210xuxx；228103210yvzy226102410zwzz；0xyuvyx2228210242102210yzvwyxzy222010610zxwuyxz；用张量形式表示则为：21203032111031124ij2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）(1):22200000ijcxycxycxycy7(2):222222222210210211022ijaxyaxbyaxyazbyaxbyazby(3):22200000ijcxyzcxyzcxyzcyz解（1）：由应变张量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。将εx、εy、εxy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：22222yxyxyxxy也即：2c+0=2c知满足。所以说，该应变状态是可能的。解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：222222222222222222222yxyxyyzzxzxzxyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzyxxyzyyzxzzxxyzxyzyzxyzxzxyzxy………………………………（1）8得：220000000002000axayb不满足，因此该应变状态是不可能的。解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得：202000002220czczcycycx不满足，因此该点的应变状态是不可能的。第三章：弹性变形及其本构方程3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0＜V＜21；证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：σ11=σ22=σ33=pσ12=σ23=σ31=0如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=ep，e为体积应变。将上述应力分量的值代入广义胡克定律：eGijijij2得：eGpeGpeGp321222三式相