天津市大学生数学竞赛辅导资料(一元函数及极限,导数与微分)

辅导培训课第一节：一元函数及极限，导数与微分关于竞赛学习流程的建议：(1)课本例题、书后题完整做过一遍；尤其是每章的综合练习.(2)加强练习，提高做题的速度和准确率；(3)有一本辅导书，多做、多想、多总结，忌讳只看不算.考试日期：5月25日考试时间：150分钟共六大张，12小页，十二题一、填空（5*3）；二、选择（5*3）；证明（4题微分、积分）计算（6题）考试内容：极限、函数、连续；一元函数微积分；多元函数微积分；24%51%25%一元函数微积分一元函数微分一元函数积分16%函数、极限、连续24%一元函数微积分的证明扎实基本概念、提高运算速度一、函数、极限、连续一、典型题型、典型思路典型题型1：求一元函数定义域，表达式，函数值问题.24%2004年一（1）解的定义域要求()fx1101xxx11x的定义域要求1()()2xffx112111xx即(2,1)(1,2)x2005年四解()()utxxfxxgtxdt()0()fxgudu()20()ln(1)fxguduxx两边求导得：2[()]()2ln(1)1xgfxfxxxx2()2ln(1)1xxfxxxx()2ln(1)1xfxxx()[2ln(1)]1xfxxdxx2ln(1)1xxdxdxx2ln(1)2ln(1)1xxxxdxdxx2ln(1)1xxxdxx()2ln(1)ln1fxxxxxC2007年六解10x时，1()(1)fxfxa21(1)(1(1))xxa1(1)(2)xxxa200()(0)(1)(0)limlimxxfxfxxfxx1001(1)()(0)(0)limlim(2)xxfxffxxxxxa2a2()01.afxx时，在可导，导数值为典型题型2：判别函数的奇偶性.0022006.()()()[()()]()[()()]()()()()xxxxfxAtftftdtBftftdtCftdtDftdt设函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是A解0()[()()]xAtftftdt0[()()]utxufufudu0()[()()]xBftftdt0[()()]utxfufudu20()()xCftdt20()utxfudu20()()xDftdt20()utxfudu偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数2007年二、6典型题型3：函数的连续性问题.注意：分段函数连续的定义和间断点的分类间断点可去无穷跳跃振荡00lim()lim()xxxxfxfx00lim()()xxfxfx0lim()xxfx极限振荡不存在第一类第二类000()lim()()xxfxxxfxfx在连续000()lim()()xxfxxxfxfx在连续2004年一（2）解0lim()xafx210lim(cos)xxx2cos11cos10lim[(1(cos1))]xxxxx22012limxxxe12e2006年一、1解2011limcosxxxaex2012lim(1)(1cos)xxxex012lim11cosxxxexxx02009年二、6解00lim()limln1xxxfxx0lim1ln(1)xxx11lim()limln1xxxfxx0C2008年三解0011112limlim2xxaxaxbaxx11limarctan12xabx,2ab2008年六解sin20()()xxftxdt22sin20()utxxxufudx2sin201()xxfudux2sin2204(sin)(2sincos)()2()xxfxxxxxxfuduxxx2sin203(sin)(2sincos)2()xxfxxxxxfudux0()(0)(0)limxxx2sin2001()limxxxfuduxx2sin030()limxxxfudux2220(sin)(2sincos)lim3xfxxxxxxx202sin1lim(sin)(cos)33xxfxxxx(0)2f2009年三解300ln(1)lim()limarcsinxxaxfxxx30limarcsinxaxxx2023lim111xaxx222031lim11xaxxx2023lim12xaxx6a2001lim()limsin4axxxexaxfxxx2201lim4axxexaxx02lim2axxaexax202lim12axxae224a2024612lim()xaaaafx时，即或时，存在01lim()6(0),()0xafxffxx时，函数在连续02lim()12(0),0()xafxfxfx时，是函数为第一类可去间断点。2009年七解()()()FxfxFx在连续，则0()0lim()(0)0xFxxFxF0lim()0xFx0lim()0xfx而，(0)(0)=0fF0lim()0(0)xfxf则(0)0,f典型题型3：无穷小量阶的比较.熟练运用等价无穷小代换sintan1ln(1)arcsinarctanxxxxexxx12111cos,1ln,(1)12xnxxaxaxxn0x时，21ln(cos)ln(1cos1)cos12xxxx如：2007年一、1解sin20()sin()xfxatdt343()gxxxxsin203300sin()()1limlimxxxatdtfxxx220sin(sin)coslim3xaxxx3a220lim3xaxx3a2008年二、6解22(11)ln(1)xx2212xx412xln(1)nnxxlncosln(1cos1)xxcos1x212x3n典型题型4：求数列、函数的极限.熟练运用极限的存在准则、洛必达法则、泰勒展示求极限（活用等价无穷小代换）常用的极限lim1,(lim1)nnnnanln,(0),(1),xxxxaaxx当时，趋于的速度由慢到快2004年二、1解201()tan13lim1xxfxxe01()tan2lim2xfxxx01lim()4xfx224111lim___sinxxxxxx、2005年一、1解原式2211141limsin1xxxxxx41312010年一、1解11112312nxn112[1]23(1)nn1111112[(1)()()]22231nn112(1)21n152222009年一、1解原式11ln(1)limniinnne10ln(1)xdxe111000ln(1)ln(1)ln(1)xdxxxxdx10ln21xdxx2ln210ln2ln1x2ln24e2008年二、9解原式11lim1cosnniinn11lim1cosnniinn011cosxdxA3.下列命题：(1,2,).nnuvn设且则必有(1)lim,lim,,nnnnuavbab则必有.ab设，且(2)(1,2,)lim,lim,nnnnnnuvnuavb则必存在lim.nnx设，且，(3)(1,2,)lim0nnnnnnuxvnuv正确的个数为()个；个；个；个()0()1()2()3.ABCDA1,12nnnuvn11,2nnuvnn1nnnn2010年二、32008年一、1解原式101()lim[](0)xxxnfxf(0)()(0)()(0)(0)0()(0)lim[(1)](0)ffxffxfxfxfxff0()(0)lim(0)xfxfxfe(0)(0)ffe12009年四解1011(1)limlimtnnttnetxt110(1)lim(1)tttetttln(1)01limtttteeet0ln(1)limtttetet20ln(1)limtttt0111lim2ttt0lim2(1)tttt122010年三解原式326011111lim[()1]2tttnetttt2630(22)21lim2ttttett526206(22)(22)1lim6ttttttetett5262061lim6ttttett360611lim66tttet2006年三解10()lim[1]xxfxx2()()0()lim[(1)]xfxfxxxfxx20()limxfxxe0()lim2xfxxe0()lim2xfxe(0)22fee2004年三解130()lim(1)xxfxexx0()lim0xfxx(0)(0)0ff130()lim(1)xxfxexx222()2()0()lim[(1)]xxfxxfxxxxfxx220()limxxfxxe20()lim(1)xfxxe20()2limxfxx0()lim2xfxx(0)2f(0)4f10()lim(1)xxfxx2()()0()lim[(1)]xfxfxxxfxx20()limxfxxe2e2004年十一证111122122nnnnnxxxxx11122nnnnnnxxxxxx112()(2)(2)nnnnxxxx1112=(2)(2)nnnnnnxxxxxx12nx110nnnnxxxx代入递推式得：222AAA舍去）2(2A即lim=2.nnx为单调有界数列,极限存在.设{}lim.nnnxxA2009年五解1()(1)(1)(1)nnfxnxnxnx1(1)(1)nnxxnx1211,1xxn0(0)0,(1)0ff11()()()11nnfMnnn11111lim()lim()lim[(1)]11nnnnnnMnnn1e2010年七证时12,=1212nnnaa221112(12)nnnnaaaa1nnaa11110nnnnnnaaaaaa为单调有界数列.{}na211112aaaa1111(3)(4)12aaaa时，10a21aa如果，则1(2)4a为单调减的数列.{}na又时），12(2nan此时极限存在.如果则1(1)4,a210aa10,nnaa为单调增的数列.{}na210aa10,nnaa21=124,aa32=124,aa1=124,nnaa此时极限存在.如果，则