非常好--数系的扩充与复数的概念

数系的扩充与复数的概念NZQR引入自然数计数的需要?引入无理数引入分数引入负数解方程3x=7自然数集中不能整除解方程x+6=2正有理数集中不够减解方程x2=3有理数集中开方开不尽解方程x2=－1实数集中负数不能开平方我们能否引入新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？一、回顾引入12i设想引入一个新数：i满足现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.二、复数的有关概念1.定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中称为虚数单位.i①复数通常用字母z表示，即:z=a+bi（a∈R，b∈R）,这一形式叫做复数的代数形式.②实数a，b分别叫做复数的实部和虚部.③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C.复数集C和实数集R之间有什么关系？思考？注意:2.复数的分类复数z=a+bi)R,(baCR复数集虚数集实数集纯虚数集实数（b=0）虚数（b≠0）(特别的当a=0时,z为0)(特别的当a=0时,z为纯虚数)指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？iiiiiii22,)31(,293,85,,0,72,618.0,722　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmZ)1(222如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca3.复数相等类比集合相等；向量相等例2已知，其中求(31)(3)xiyyiRyx,.yx与14xy解方程组，得：　　　311(3)xyy(31)(3)xiyyi因为，所以有解：若(x-3)+(x2-2x-3)=0，求实数x的值.i注意：一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小.虚数三、复数的几何意义实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点一一对应在几何上，我们用什么来表示实数?类比实数的表示，可以用什么来表示复数？Z=a+bi(a,b∈R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？复数z=a+bi有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点Z(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复数平面(简称复平面)一一对应Z(a,b)xyobaz=a+bi复数的几何意义（一）iiiiiii22,)31(,293,85,,0,72,618.0,722　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　指出下列复数与哪些点是对应的？例3已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.01062mmm所以有123mm得)2,1(m因为复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点为(m2+m-6，m-1)，该点在第二象限，解：变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点在直线x+3y+13=0上，求实数m的值.解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m-1），∴(m2+m-6)+3(m-1)+13=0，∴m=-2.复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi一一对应oz平面向量复数的几何意义（二）ozxOz=a+biyZ(a,b)22ba对应平面向量的模||，叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.OZOZ|z|=||OZ四、复数的模例4求下列复数的模：(1)z=-4i(2)z=3+2i(3)z=1-2i(4)z=4n-3ni(n0)解：(1)|z|=4(2)|z|=135(3)|z|=(4)|z|=-5n小结：1.虚数单位i的引入.3.复数的几何意义.4.复数的模.2.复数的有关概念复数的定义复数的分类复数相等