液体的平衡微分方程式

12水静力学22.1静水压强及其特性2.2液体的平衡微分方程式2.3重力作用下的液体平衡2.4压强的度量与量测2.5作用于平面上的静水总压力2.6作用于曲面上的静水总压力32.2.1液体平衡微分方程2.2液体的平衡微分方程2.2.2质量力性质2.2.3等压面42.2.1液体平衡微分方程2.2液体的平衡方程2.2.2质量力性质5液体处于平衡状态时，作用于微元液体上的各种力与空间坐标之间的微分关系。6xx0x0+δx0-δO020000021xx...)xx)(x(''f)xx)(x('f)x(f)x(f!泰勒展开式图2.2.1泰勒展开式示意7在平衡液体中取一块平行六面微元体，其他形状也可以，但六面体方便。图2.2.2平衡液体示意8在平衡液体中取一块平行六面微元体。图2.2.3平衡液体中的微元体9xyOAdydxdz2dyypp2dyyppz平衡液体中取一块平行六面微元体，并放大图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意10该六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡。设形心点坐标：A=A(x,y,z)，边长：dx,dy,dzxyOAdydxdz2dyypp2dyyppz图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意11表面力设形心点坐标为A=A(x,y,z)，边长为dx,dy,dzxyOAdydxdz2dyypp2dyyppz右侧面左侧面面积压强侧面中心点),2dy,zyx（)2dyypp（zxdd),2dy,zyx（)2dyypp（zxdd图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意12xyOAdydxdz2dyypp2dyyppz质量力zyxZzzyxYyzyxXxddd:ddd:ddd:XYZ图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意13xyOAdydxdz2dyypp2dyyppz考虑y方向微元体的受力平衡，则022022022zyxZyxzzppyxzzppzyxYzxyyppzxyyppzyxZzyxxppzyxxppddddd)ddd)dddddd)ddd)dddddd)ddd)d（（（（（（图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意14xyOAdydxdz2dyypp2dyyppz022022022zyxZyxzzppyxzzppzyxYzxyyppzxyyppzyxXzyxxppzyxxppddddd)ddd)dddddd)ddd)dddddd)ddd)d（（（（（（右侧面前侧面上侧面左侧面后侧面底侧面图2.2.4平衡液体中的微元体放大示意15以ρdxdydz除上式、并化简，则022022022zyxZyxzzppyxzzppzyxYzxyyppzxyyppzyxXzyxxppzyxxppddddd)ddd)dddddd)ddd)dddddd)ddd)d（（（（（（ZzpYypXxp16瑞士学者（Euler）1775年首先提出的液体平衡微分方程形式1物理意义静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积的质量力相等ZzpYypXxp欧拉平衡微分方程17液体平衡微分方程形式2）（zZyYxXzzpyypxxppdddddddZzpYypXxp+)×dx×dy×dz182.2.1液体平衡微分方程2.2液体的平衡方程2.2.2质量力性质2.2.3等压面19zUZyUYxUX若存在一个与坐标有关的函数U(x,y,z)，使质量力的分量等于这个函数的偏导数，即）（zZyYxXzzpyypxxppddddddd则U(x,y,z)称为力势函数，满足上式关系的力称为有势力，如重力和惯性力都是有势力。20ddpU＝积分上式，则pUC＝d(,,)ddddddUUUUxyzxyzXxYyZzxyzddddpXxYyZzdU则（）=21等压面液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面）2.2.3等压面22平衡液体中等压面就是等势面0d0dconstantUpp＝对于不可压缩液体，ρ=常数，故在等压面上p=constant，即dU=0,U=constant。23等压面和质量力正交dddd=ddd=0pXxYyZzXxYyZz（）024例1液体绝对静止问题在静止状态下，作用于液体上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。25z例2等加速运动容器中液体的相对平衡容器中液面是一个斜平面。26图2.3.4容器中的平衡液体27aX=-agx图2.3.5容器中的平衡液体受力分析28aX=-agx等压面图2.3.6容器中的平衡液体等压面形状