特殊平行四边形的性质与判定00

1特殊平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识点睛1.菱形的定义：________________________________________．菱形的性质边：________________________________________________；对角线：____________________________________________；面积：______________________________________________．菱形的判定边：________________________________________________；对角线：____________________________________________．2.矩形的定义：________________________________________．矩形的性质角：________________________________________________；对角线：____________________________________________．矩形的判定角：________________________________________________；对角线：____________________________________________．3.正方形的定义：______________________________________________________________________________________________________．正方形的性质：________________________________________________________________________________________．正方形的判定：______________________________________________________________________________________________________．二、精讲精练1.在菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知BD=6，AC=8，则菱形ABCD的面积是_________，周长是_________．2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB于点E．若∠ADC=130°，则∠AOE的度数为（）A．75°B．65°C．55°D．50°3.若菱形的一个内角是60°，边长是8，则菱形的两条对角线的长分别为_______________．EODCBA24.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，求AB以及菱形的高DH的长．HODCBA5.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AFB．EF⊥ACC．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线FEDCBA6.如图，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形BEDF是菱形．OFEDCBA7.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过顶点D作对角线AC的平行线交BA的延长线于点E，若BO=2，则DE的长为_____________．8.如图，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，P为AD边上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PEPF=____________．OPFEDCBA39.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是矩形．OHGFEDCBA10.如图，在正方形ABCD中，延长AB至点E，使BE=AC，则∠E=___________．ECBADEDCBA第10题图第11题图11.如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED．当∠BED=126°时，∠EDA的度数为（）A．54°B．27°C．36°D．18°12.下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形；⑥对角相等的菱形是正方形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）试判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD:AB=________时，四边形MENF是正方形．ABCDEFNM4特殊平行四边形的性质与判定（随堂测试）1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形2.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线相交于点P．求证：四边形BOCP是菱形．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：要证四边形BOCP是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：____________________________________________．因为_____∥_____，_____∥_____，所以由____________________________________________，可得四边形BOCP是_________________．在矩形ABCD中，___________，所以四边形BOCP是菱形．【过程书写】PODCBADCBA5特殊平行四边形的性质与判定（习题）例1：已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：要证四边形BECF是正方形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形．因为BF∥CE，CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形．在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°．因为BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，所以∠EBC=∠ECB=45°，所以在△EBC中，∠BEC=90°，EB=EC，所以□BECF是正方形．【过程书写】证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ECB=45°∴EB=EC∴□BECF是菱形在△EBC中，∠EBC=45°，∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴菱形BECF是正方形即四边形BECF是正方形FEDCBA××××FEDCBA61.已知菱形的周长为40，两对角线之比为3:4，则两对角线的长分别为（）A．12，16B．6，8C．24，32D．48，642.添加下列条件，不能判定□ABCD是菱形的是（）A．AB=BCB．AC⊥BDC．BD平分∠ABCD．AC=BD3.下列关于矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分4.下列命题正确的是（）A．一组邻边相等的平行四边形是正方形B．一组邻边垂直，一组对边相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个ODCBAEPDCBA第5题图第7题图6.已知菱形两对角线的长分别为12，16，则该菱形的面积为__________，周长为__________．7.如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC=60°，E是AD的中点，EP⊥AD，交BD于点P．若BD=12cm，则EP的长为______．8.已知矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，且∠AOB=60°．若BD=10cm，则AD=__________．9.已知正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若OE=2，则正方形ABCD的面积为____________．10.如图，E为正方形ABCD内一点，且△BCE为等边三角形，则∠BAE的度数为_________．7EDCBAQREPDCBA第10题图第11题图11.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC．P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR=____________．12.如图，在□ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．HGFEDCBA【思路分析】①读题标注：②梳理思路：要证四边形EFGH是矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：_____________________________________________．在□ABCD中，AB∥CD，所以__________+__________=180°，因为______________________________，可得_______=90°，同理，可得_________=_________=90°，故四边形EFGH是矩形．【过程书写】13.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？【思路分析】①读题标注：DCBA8②梳理思路：要证四边形ABCD是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：_____________________________________________．由已知条件可得______∥______，______∥_______，所以四边形ABCD是______________________，接下来只需证明_______________________即可．【过程书写】14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC．P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．MNPDCBA