3.1一维晶格振动

3.1一维晶格振动固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X光衍射发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。静态模型与晶格振动黄昆院士简介:（摘录）1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》(DynamicalTheoryofCrystalLattices)一书（英国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版）黄昆院士与晶格动力学黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者。晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。一、一维单原子晶格的线性振动一维晶格的振动n-2n-1nn+1n+2n+3un-2un-1unun+1un+2un+3考虑N个质量为m的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为n。设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。un表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：a+un–un+1-a=un–un+1同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是：un–un-1第n个原子相对第n+1个原子的位移Δr：n-2n-1nn+1n+2n+3un-2un-1unun+1un+2un+3ar11nnnnuuauuaarr原子之间的相互作用力分析)()(rauru333222dd61dd21)(rrurruauaa333222)(dd61)(dd21dd(a)rrurrurruuaaa)()(rauru=0原子之间的相互作用力分析泰勒展开：23322dd21dddd)(rrurrururfaaaru22dd)(dd122nnauurrruf因此：弹簧振子？？333222dd61dd21)()(rrurruauruaa简谐近似原子之间的相互作用力分析kxMMkxF弹簧谐振子rf弹性恢复力系数第n个原子离开平衡位置时受到的简谐振动力为：)]([)]([11nnnnuuuuF)2(11nnnuuu原子n-1对原子n的作用力原子n+1对原子n的作用力原子之间的相互作用力分析原子的振动方程)2(11nnnnuuuum第n个原子的振动：怎么处理边界上原子的振动问题？玻恩-卡门周期性边界条件设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，遵循玻恩---卡门周期性边界条件:Nnnuu设方程的通解为：)()()(nkiqannkiqatqnaikeueAeu)()(tqnaitqrinAeAeunqalnk2qalnk)12（当当nkuunkuu原子位移的周期分布特性格波)2(11nnnnuuuumAitxqe连续介质弹性波：区别于：格波格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。格波的特点：晶格中原子的振动；相邻原子间存在固定的位相关系。nn+2n-1n+1n-2°°°°°°°°°°°°°°°2/q=格波)21(sin4)]cos(1[222qamqam色散关系2sin2aqm色散关系：频率与波矢之间的关系这个结果与n无关，说明N个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是qa。)()(tqnaitqrinAeAeun格波的特性2sin2aqm(1)格波频率ω以倒格矢2π/a为周期(2)ω在波矢空间具有反演性(3)波矢的取值范围：aqa2()()qnqa()()qq这种性质称作格波的简约性。这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题q=2l/a+q´un=Aei{t-q´na}=un´分析讨论结论：如果q-q´=2l/a（s为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之间都相差2/a的整数倍。为了保证un的单值性，把q值限制在(-/a,/a),其中a是该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。例如：波矢q'=/2a原子的振动同样可以当作波矢q=5/2a的原子的振动（q-q´=2/a）。绿线：q=5/2a,=4a/5两相邻原子振动的位相差是2+/2。•••••紫线：q´=/2a，=4a两相邻原子振动的位相差是/2。相同：振动方程形式类似区别：[1]连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只取呈周期性排列的格点的位置；[2]一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq.[3]二者的重要区别在于波矢的涵义（原子以q与q´振动一样，同一振动状态对应多个波矢，或多个波矢为同一振动状态）。格波与一般连续介质波的比较)(])([tqnaintaNnqinNAeuAeu1eiqNaNalq2aqa22NlN晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目N波矢取值限制周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。格波的波形图向上代表原子沿X轴向右振动向下代表原子沿X轴向左振动格波的波矢：格波的传播方向：波速：2nqnqVpqffTv2,22(1)q=0,波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运动，因而恢复力为0，。此时为弹性波。(2)时,，相邻原子反向运动(位相相反)，所以，恢复力和频率取极大值。a2/qaaa20定性讨论和的两种极限情况qffTv2,22色散关系为周期函数当q=0时，=0当,sin(qa/2)=1时，有最大值，且max=2(β/m)1/2-2/a-/a0/a2/amaxmax一维不喇菲格子振动的频谱频谱图2sin2aqm/qa模型运动方程试探解色散关系波矢q范围晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值11..nnnnxxxxnmxtqnainAxe2sin2aqmaqaππNnnxxn-2nn+1n+2n-1amm例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩---卡门周期性边界条件:Nxx111eiNaqsNaqπ2naqtinAxe解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:将试探解代入振动方程得色散关系:11..nnnnxxxxnmx2sin2aqmS为整数saq5π22525saqaππ2525s2,1,0,1,2sa,a,,a,aq5π45π205π25π41524321,,0,5πsin2,5π2sin2mm2sin2aqm一维双原子链的振动两种原子m和M(Mm)——构成一维复式格子m原子位于2n-1，2n+1，2n+3……M原子位于2n，2n+2，2n+4……分子内原子间距离b，力常数β1，分子间原子间距为a，力常数β2——系统有N个原胞b2n-22n-12n2n+12n+2°°°•••mMaβ2β1N个原胞，有2N个独立的方程（总自由度数）两种原子振动振幅A和B一般不同第2n+1个m原子的方程第2n个M原子的方程方程解的形式122221212..nnnnnuuuuMunnnnnuuuuum21211222212tqnainAue2tqnainBue12b2n-22n-12n2n+12n+2°°°•••mMaβ2β1运动方程——A、B有非零的解，系数行列式为零第2n+1个m原子第2n个M原子方程的通解122221212..nnnnnuuuuMunnnnnuuuuum21211222212tqnainAue2tqnainBue120)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa运动方程的特解一维复式晶格中存在两种独立的格波0)()()()(2212121221meeMiqaiqa久期方程212221212212)]2(sin)(16)[()(2)(qamMMmMamM212221212212)]2(sin)(16)[()(2)(qamMMmMmmMo212221212212)]2(sin)(16)[()(2)(qamMMmMmmMA色散关系与q之间存在着两种不同的色散关系一维复式格子存在两支独立的格波——光学波——声学波与一维单原子链比一比？212221212212)]2(sin)(16)[()(2)(qamMMmMmmMo212221212212)]2(sin)(16)[()(2)(qamMMmMmmMAaπaπ频谱图相邻原胞相位差M和m原子方程波矢q的取值h为整数q的值范围aqaaaOq周期性边界条件：2aNhqq的取值每个波矢占的线度NNaa2/2FBZ允许的q值的数目晶体中的原胞数目tqnainAue2tqnainBue12aq-第一布里渊区宽度/a2Na2q一个q对应两个格波频率，即总的格波数目为2N=原子的数目2N——光学波——声学波q的取值数目=晶体中的原胞数目N212221212212