关于分组(堆)问题的六个模型及求法

关于分组（堆）问题的六个模型及求法引例将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？⑴分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本；⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；⑷分成3堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑸分成3堆，每堆2本；⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的.②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：①学生甲从6本中取3本有36C种取法，②学生乙从余下的3本中取2本有23C种取法，③学生丙从余下的1本中取1本有11C种取法.所以方法数为321631CCC＝60；⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3本作为一堆有36C种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C种取法，④将三堆依次分给甲乙丙三人有33P种分法.所以方法数为33112336PCCC＝360；⑶是指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中取2本有26C种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C种取法.所以方法数为222642CCC＝90；⑷是分堆的非均匀问题：①从6本中取3本作为一堆有36C种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C种取法.所以方法数为321631CCC＝60；⑸是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有26C种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C种取法.方法数为222642CCC＝90.然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为22236423CCCA＝15；⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为4113621322CCCPA＝90；⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为41162122CCCA＝15.以上问题归纳为：分给人（有序）分成堆（无序）非均匀33112336PCCC112336CCC均匀222426CCC33222426PCCC部分均匀2233111246PPCCC22111246PCCC分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.例1(2006年重庆卷理（8）)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种分析：这是一个有序局部等分问题.根据题意应先将5名实习教师按（2～2～1）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215CCCA种方法，再将3组依次分到3个班有336A种分法.根据分步计数原理，共有15690种不同的分配方案，故选B.点评：没有明确安排各学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.例2（2007陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）分析：根据题意应先将3名支教老师按（1～1～1）分为三组或按（2～1）分为两组，然后再将这组依次安排到学校.解：①将3名支教老师按（1～1～1）分为三组有111321331CCCA种分法，再将三组依次分到学校有36120A中分法，根据分步计数原理，共有1×120＝120种不同的分配方案；②将3名支教老师按（2～1）分为两组有21313CC种分法，再将两组依次分到学校有2630A中分法，根据分步计数原理，共有3×30＝90种不同的分配方案.再由分步计数原理，共有120+90＝210种不同的分配方案.故填210.点评：分类讨论问题是今年考试的热点.本题是将分类与分组问题巧妙的融合在了一起，同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的.例3（2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以.因此应该先分组后到班.解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有211153213310CCCCA种分法；再将这四组依次分配到4个工厂有4424A种分配方法.根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方案.故填240.点评：本题极易出错的解法是：先给4个工厂各分1个班有45120A种分法，再将余下的一个班分配到4个工厂之一有144A种方法.最后根据分步计数原理，共有120×4＝480种不同的进行社会实践分配方案.恰是正确答案240的2倍.请读者说明出现这种情况的原因.一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：①明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；②非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；③均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；④局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.