27.2.2相似三角形性质

27.2.3相似三角形的周长与面积1、理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比也等于相似比；多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。2、能应用相似三角形的有关性质解决相关问题.（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？根据定义：对应角相等，对应边的比相等；（3）相似三角形的对应边的比叫什么？相似比（4）ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为k,则ΔA′B′C′与ΔABC的相似比是多少？1k（1）相似三角形有哪些判定方法？三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线角平分线中线相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？例如：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′，求证：ABCDA′B′C′D′①相似三角形的对应高线之比等于相似比.ADAB==kA'D'A'B'角平分线角平分线中线中线②相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比.如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么kACCACBBCBAAB''''''因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'从而kACCBBAAkCCkBBkAACCBBACABCAB''''''''''''''''''ABCA'B'C'相似多边形周长的比等于相似比得到：相似三角形周长的比等于相似比探究（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'D'D如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．∵∠ADB=∠A/D/B/∠B＝∠B'∴△ABD∽△A'B'D'kBAABDAAD''''''''2121'''DACBADBCSSCBAABC△△2''''21''''21kDACBDAkCBk这样，得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方．探究（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的面积比是多少？ABCDA'B'C'D'则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，相似多边形面积的比等于相似比的平方．分别连接AC，A'C'2'''ABCABCSkS2'''ACDACDSkS2'''ABCABCSkS2'''ACDACDSkS2''''''ABCACDABCACDSSkSS2''''=kABCDABCDSS四边形四边形（1）相似三角形对应的比等于相似比.相似三角形(多边形)的性质:（3）相似的面积的比等于相似比的平方.多边形多边形（2）相似的周长的比等于相似比.三角形三角形高线角平分线中线【例】如图在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若ΔABC的边BC上的高为6，面积是求ΔDEF的周长和面积.ABCDEF512解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF∴21ACDFABDE又∠D＝∠A∴△DEF∽△ABC，相似比为21ABCDEF例题分析∵ΔABC的边BC上的高为6，面积是∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为5122153512212）（【例】如图在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积.ABCDEF解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF∴21ACDFABDE又∠D＝∠A∴△DEF∽△ABC，相似比为21ABCDEFADE11,=L=122242ADEADEABCLLL11===124484ADEADEADEABCSSSS例题分析1.（1）已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则周长之比为，对应边上中线之比为，面积之比为.（2）已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则周长之比为，相似比为，对应边上的高线之比为.2:34:93:23:23:22:32.判断题：（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍.（√）（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍.（×）1.（广东中考）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选D.由中位线定理可知因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比为1：2，则面积比为相似比的平方即1：4.1DEBC1,2EABCD2.如图,在△ABC中,D是AB的中点，DE∥BC，则:(1)S△ADE:S△ABC=.(2)S△ADE:S梯形DBCE=.1:41:33.如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是_______.1:2BADEC4.在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少?这个多边形的面积发生了怎样的变化?答案：这次复印，复印后的图形与原图形的比为31，多边形的面积扩大到原来的9倍.5.判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．练习解：（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5155原周长＝扩大倍周长扩大5倍周长＝5原周长解：一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：92199SS原四边形＝扩大倍四边形边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．6.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．解：△ABC∽△A'B'C'60157218k15''18ABAB1818''15181515ABAB15''18BCBC15242018BC60152025AC''72182430ACABCA'B'C'7.蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）解：两地蛋糕是相似的相似比是1：2面积的比为211:42设半径是30cm的蛋糕够x人吃1：4＝2：xx=8答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．8.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？6321解：放缩比例为面积发生了23911SS变化原图9SS变化原图（1）相似三角形对应的比等于相似比.相似三角形(多边形)的性质:（3）相似的面积的比等于相似比的平方.多边形多边形（2）相似的周长的比等于相似比.三角形三角形高线角平分线中线