雨中行走问题

一雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。1建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。h2模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。wdCIvD3模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积)(222米wddhwhS雨中行走的时间)(秒vDt降雨强度)/()3600/01.0()/(01.0)/(smIII时米时厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01.0)3600/(3模型中为变量。为参数，而vSID,,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。vhwd人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）r雨滴的密度为雨滴下落的反方向1,pp表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，rpI因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。•顶部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间sin,/rwdvD•前表面淋雨量)]cos([)/(2vrpwhvDC•总淋雨量（基本模型）))cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039.1,/23600,/4pscmIsmr取参数)5.1cos6sin8.0(1095.64vvC可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。vC情形190)5.18.0(1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.1134mC情形260]/)334.0(5.1[1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47.1107.1434mC情形318090此时，雨滴将从后面向你身上落下。]5.1/)cos6sin8.0[(1095.64vC]5.1/))90cos(6)90sin(8.0[(1095.64vC]5.1/)sin6cos8.0[(1095.64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即sinrv这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/)sin(淋雨总量为vvrhdrpwDC/)]sin(cos[。，则令90090取到最小值。时，当CrvsincossinwdprrDC再次代如数据，得)sin4/()cos8.0(1095.64C结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角从背后落下，你应该以12030的速度行走，smv/230sin4此时，淋雨总量为升24.02/)2/38.0(1095.634mC这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即sinrv你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/)sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)]sin(cos[]//)sincos[(rhvrdpwDrC才可能小。尽可能大，当Cvrd,0sincos才可能小。尽可能小，当Cvrd,0sincos，而sinrv，所以sinrv才可能小。C升。时，取77.06/)634.0(1095.630,/634mCsmv4结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5注意•关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。•雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。二席位分配问题某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则Npqm表示某单位的席位数m表示某单位的人数p表示总人数N表示总席位数q1问题的提出20个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173现象2总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表的人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数AB1p2p1n2n11np22np当2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。准。称为“绝对不公平”标)12211npnp此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！2）相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。2211npnp则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平”则称，若2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对A的相对不公平值；同理，可定义对B的相对不公平值为：则称，若2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标BArr,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3建模若A、B两方已占有席位数为,,21nn用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，2211，若npnp有下面三种情形。情形112211，npnp说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形212211，npnp说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值1)1()1()1(),1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形312211，npnp说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值1)1()1()1()1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(),1(2121nnrnnrAB若则这一席位给A单位，否则给B单位。1)1(),1(211221npnpnnrB1)1()1,(122121npnpnnrA12212112)1()1(npnpnpnp(*))1()1(11222212nnpnnp结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。记21)1(2,innpQiiii则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有席位数为,,21nn4推广有m方分配席位的情况设iA方人数为ip，已占有in个席位，mi,,2,1当总席位增加1席时，计算m,innpQiiii,,21)1(2则1席应分给Q值最大的一方。从1in开始，即每方至少应得到以1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）5举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按Q值方法：3,21)1(2,innpQiiii1,1,1321nnn785)11(134,5.9841)11(1635304.5,)11(1103232221QQQ785)11(134,5.9841)11(1632.7681)12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11(1345.661)12(2632.7681)12(2103232221QQQ785)11(1345.661)12(2634.888)13(3103232221QQQ456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。d’Hondt方法有k个单位，每单位的人数为pi，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前n个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。