雨中行走问题建模

讨论题:雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里.假设刚刚出发雨就大了，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。1.建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。h2.模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。wdCIvD3）风速保持不变。4）你以定常的速度米/秒跑完全程米。3.模型建立与计算淋雨的面积)(222米wddhwhS雨中行走的时间)(秒vDt降雨强度)/()3600/01.0()(秒米时厘米II/（升）米vDIStISC360001.010)()360001.0(3模型中为变量。为参数，而vSID,,结论:淋雨量C与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6/10006v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。模型2：改进，考虑降雨方向。vhwd人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）,雨滴的密度为r雨滴下落的反方向1,pp表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以,降雨强度rpI因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。•顶部的淋雨量密度。度表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间prwdvD,sin,/•前表面淋雨量•总淋雨量（基本模型）))cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039.1,/23600,/4pscmIsmr取参数vDpwdrtrwdpCsinsin1vDvrwhpC)cos(2)5.1cos6sin8.0(1095.64vvC可以看出：淋雨量C与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。vC情形190)5.18.0(1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.1134mC情形260]/)334.0(5.1[1095.64vC升米47.1107.1434C情形318090此时，雨滴将从后面向你身上落下。结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得。，则令90090]5.1/)sin6cos8.0[(1095.64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。1）当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即sinrv这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vDvrpwhC/)sin(2]5.1/)cos6sin8.0[(1095.64vCvpwdDrtrwdpC/cossin1顶部hw人前进的方向雨滴下落的反方向v这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vDvrpwhC/)sin(2vpwdDrtrwdpC/cossin1顶部d取到最小值时，当Crvsin若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角从背后落下，你应该以12030秒的速度行走，米/230sin4v此时，淋雨总量为结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。升米24.02/)2/38.0(1095.634Csin/cos/)]sin(cos[pwDdvvrhdrpwDC.cotpwDdCcot1039.1cot2.010005.01039.146C淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。2）当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即sinrv你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/)sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)]sin(cos[]//)sincos[(rhvrdpwDrC;,0sincos才可能小尽可能大，当Cvrd,,0sincos才可能小尽可能小，当Cvrd，由于sinrv，所以sinrv才可能小。C升。时，取77.06/)634.0(1095.630,/634mCsmv若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5.注意•关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。•雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。4.结论作业提示:1.椅子问题:记A、B与地面距离之和为C、D与地面距离之和为和，旋转1800证明。2.人、猫、鸡、米过河，采用穷举法：向量表此岸状态（1，1，1，1）＋（1，0，1，0）＝（0，1，0，1）带鸡过河（0，1，0，1）＋（1，0，0，0）＝（1，1，0，1）人回来（1，1，0，1）＋（1，0，0，1）＝（0，1，0，0）带米（0，1，0，0）＋（1，0，1，0）＝（1，1，1，0）带鸡回来（1，1，1，0）＋（1，1，0，0）＝（0，0，1，0）带猫去（0，0，1，0）＋（1，0，0，0）＝（1，0，1，0）人回来（1，0，1，0）＋（1，0，1，0）＝（0，0，0，0）全部过河讨论题:鱼的增长问题0n()nt在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长。尾数将减少而每尾的由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比.0n由于喂养引起的每尾()nt重量将增加。设尾数的（相对）减少率为常数；鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程。鱼在水中的游动讨论题