二次函数的应用一(最值问题)

九年级袁文娣中考复习专题——最值问题复习目标：通过本课题的探索与研究，让学生了解二次函数最值问题的解题思路，掌握二次函数综合题中关于最值问题的解题方法，经历分析和解答综合题的过程，培养学生分析问题解决问题的能力。复习重点：掌握二次函数最值问题的解题思路与方法。复习难点：学生综合运用知识分析问题与解决问题能力的培养。•知识回顾如图，已知D是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，请你给出一组条件，使得根据你所给出的条件可以求出抛物线的表达式，并求出该表达式。求函数表达式最终归结为求点的坐标，然后用待定系数法解决。例：如图，一边靠学校院墙，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为S㎡。（1）写出S与x之间的函数关系式；（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？ADCB(1)S=x(12-2x)即S=-2x²+12x(2)S=-2x²+12x=-2(x-3)²+18如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）32ababac442∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0x6）∴024－4x≤84≤x6∴当x＝4m时，S最大值＝32平方米例：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？分析：利润=（每件商品所获利润）×（销售件数）解：设每个涨价x元，那么（3）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为（50+x）元（x≥0，且为整数）(500-10x)个（2）一个商品所获利润可以表示为（50+x-40）元（4）共获利润可以表示为(50+x-40)(500-10x)元答：定价为70元/个，利润最高为9000元.解：设每个商品涨价x元，那么y=(50+x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10[（x-20）2-900](0≤x≤50,且为整数)=-10（x-20）2+90001、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？QPCBA课时训练BP=12-2t，BQ=4t△PBQ的面积:S=1/2(12-2t)•4t即S=-4t²+24t=-4(t-3)²+36练习1、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？解：∵周长为12cm,一边长为xcm,∴另一边为（6－x）cm∴y＝x（6－x）＝－x2＋6x（0x6）＝－(x－3)2＋9∵a＝－10,∴y有最大值当x＝3cm时，y最大值＝9cm2，此时矩形的另一边也为3cm答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。next小试牛刀如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大AP=2xcmPB=（8-2x）cmQB=xcm则y=1/2x（8-2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4-4）=-（x-2）2+4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是4cm2（0x4）ABCPQ学了本节课你有什么收获和困惑？实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解返回解释检验谈谈你的学习体会在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为y则y=60-x2-（10-x）（6-x）=-2x2+16x（0x6）=-2（x-4）2+32所以当x=4时花园的最大面积为32“二次函数应用”的思路1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.例心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系：224100(010)240(1020)7380(2040)tttyttt（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？