二次函数的最值问题

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典型中考题(有关二次函数的最值)屠园实验周前猛一、选择题1.已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值–1,则a与b之间的大小关()A.abB.a=bCabD不能确定答案:C2.当-2≤x≤l时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()A、-74B、3或-3C、2或-3D2或-3或-74答案:C∵当-2≤x≤l时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,∴二次函数在-2≤x≤l上可能的取值是x=-2或x=1或x=m.当x=-2时,由y=-(x-m)2+m2+1解得m=-74,2765yx416此时,它在-2≤x≤l的最大值是6516,与题意不符.当x=1时,由y=-(x-m)2+m2+1解得m=2,此时y=-(x-2)2+5,它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符.当x=m时,由4=-(x-m)2+m2+1解得m=3,当m=-3此时y=-(x+3)2+4.它在-2≤x≤l的最大值是4,与题意相符;当m=3,y=-(x-3)2+4它在-2≤x≤l在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符.综上所述,实数m的值为2或-3.故选C.3.已知0≤x≤12,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是()A-10.5B.2C.-2.5D.-6答案:C解:∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.又∵0≤x≤12,∴当x=12时,y取最大值,y最大=-2(12-2)2+2=-2.5.故选:C.4、已知关于x的函数.下列结论:①存在函数,其图像经过(1,0)点;②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。真确的个数是()A,1个B、2个C3个D、4个答案:B分析:①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;③根据二次函数的增减性,即可作出判断;④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.解:①真,将(1,0)代入可得:2k-(4k+1)-k+1=0,解得:k=0.运用方程思想;②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;③假,如k=1,b5-=2a4,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;④真,当k=0时,函数无最大、最小值;k≠0时,y最=224ac-b24k+1=-4a8k,∴当k>0时,有最小值,最小值为负;当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.二、填空题:1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是答案:122、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是答案:4、4,8解:设直角三角形得一直角边为x,则,另一边长为8-x;设其面积为S.∴S=x·(8-x)(0x8).配方得S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8∴当x=4时,S最大=8.及两直角边长都为4时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8.3、函数2y=24x-x(0x4)的最大值与最小值分别是答案:2,0解:24x-x最小值为0,当4x-x2取最大值时24x-x最大,即x=2时,24x-x最大为4,所以,当x=0时,y最大值为2,当x=2时,y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a(0≤x≤1)的最大值是3,那么a的值为答案:0解:二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1,当0≤x≤1时y随x的增大而增大,当x=1时最大值为3,代入y=x2+2x+a得a=0.5、如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,则这样线段的最小长度.三、解答题:1某产品第一季度每件成本为50元,第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴请用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本;⑵如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元,试求x的值⑶该产品第二季度每件的销售价为60元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于48元,设第三季度每件产品获得的利润为y元,试求y与x的函数关系式,并利用函数图象与性质求y的最大值(注:利润销售价成本)解:(1)x150⑵5.9501502x解得1.0x(3),48160x解得2.0x而0x,∴2.00x而2150160xxy=1040502xx=184.0502x∵当4.0x时,利用二次函数的增减性,y随x的增大而增大,而2.00x,∴当2.0x时,y最大值=18(元)说明:当自变量取值范围为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范围为某一区间时,二次函数的最值应注意下列两种情形:若抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内,则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。2、如图,二次函数的图象经过点D(0,397),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为:y=a(x﹣h)2+k∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)∴y=a(x﹣4)2+k,=16a+k①又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6∴A(1,0),B(7,0)∴0=9a+k②由①②解得a=,k=﹣∴二次函数的解析式为:y=(x﹣4)2﹣(2)∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为(4,)(3)由(1)知点C(4,),又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,∴∠ACM=60°,∵AC=BC,∴∠ACB=120°①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有BQ=6,∠ABQ=120°,则∠QBN=60°∴QN=3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,),如果AB=AQ,由对称性知Q(﹣2,)②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,),经检验,点(10,)与(﹣2,)都在抛物线上综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC点Q的坐标为(10,)或(﹣2,)或(4,).3、如图,抛物线经过(40)(10)(02)ABC,,,,,三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P是抛物线上一动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC△相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA△的面积最大,求出点D的坐标.解:(1)∵该抛物线过点C(0,-2),∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2,将A(4,0),B(1,0)代入,得,解得,∴此抛物线的解析式为;(2)存在,如图,设P点的横坐标为m,则P点的纵坐标为,当1<m<4时,AM=4-m,,∵∠COA=∠PMA=90°,∴①当时,△APM∽△ACO,即4-m=2,解得m1=2,m2=4(舍去),∴P(2,1);②当时,△APM∽△CAO,即,解得m1=4,m2=5(均不合题意,舍去),∴当1<m<4时,P(2,1),类似地可求出当m4时,P(5,-2),当m1时,P(-3,-14),综上所述,符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14);(3)如图,设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为,过D作y轴的平行线交AC于E,由题意可求得直线AC的解析式为,∴E点的坐标为,∴∴∴当t=2时,△DAC的面积最大,∴D(2,1)。4如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上,EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G,H,且EG+FH=EF.(1)求线段EF的长;(2)设EG=x,△AGE与△CFH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值.5.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.(1)求证:MN∥AB;(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.(1)由题中条件可得△ACE≌△DCB,进而得出△ACM≌△DCN,即CM=CN,△MCN是等边三角形,即可得出结论;(2)可先假设其存在,设AC=x,MN=y,进而由平行线分线段成比例即可得出结论.解答(1)证明:∵△ACD与△BCE是等边三角形,∴AC=CD,CE=BC,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE与△DCB中,∵AC=CD∠ACE=∠BCDCE=BC∴△ACE≌△DCB(SAS),∴∠CAE=∠BDC,在△ACM与△DCN中,∵∠CAE=∠BDCAC=CD∠ACM=∠DCN∴△ACM≌△DCN,∴CM=CN,又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°,∴△MCN是等边三角形,∴∠MNC=∠NCB=60°即MN∥AB;(2)解:假设符合条件的点C存在,设AC=x,MN=y,6、如图,在ABC中,∠A90°,10BC,ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设xDE以DE为折线将△ADE翻折,所得的DEA'与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.(1).用x表示∆ADE的面积;(2).求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式;(3).求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式;(4).当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?解:(1)∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∴2)(BCDESSABCADE即241xSADE(2)∵BC=10∴BC边所对的三角形的中位线长为5∴当0﹤5x时241xSyADE(3)x5﹤10时,点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S△A'DE=S△ADE=241x∴DE边上的高AH=AH'=x21由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN∽△A'DE知2DEA'MNA')HA'FA'(SS2MNA')5(xS∴251043)5(41222xxxxy(4)在函数241xy中∵0﹤x≤5∴当x=5时y最大为:425在函数2510432xxy中当3202abx时y最大为:325∵425﹤325∴当320x时,y最大为:325CBA7、如图,抛物线2212bxxy与x轴交于A、B两点,与Y轴交于C点,且A(-1,0)。(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标(2)判断△ABC的形状,证明你的结论。(3)点M(m,0)是X轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值解:(1)将A(-1,0)代入2212bxxy得23b,所以抛物线的解析式223212xxy配方得:825)23(212xy,所以顶点D

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