二次函数知识点(填空)考点复习题

导航家教-1-二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而bc，可以为零．二次函数的定义域是．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是，右边是关于自变量x的，x的最高次数是．⑵abc，，是，a是，b是，c是．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2yaxh的性质：左加右减。4.2yaxhk的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标()；⑵保持抛物线Y=ax2的形状不变，将其顶点平移到()处，具体平移方法如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而；xh时，y随x的增大而；xh时，y有最值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而；xh时，y随x的增大而；xh时，y有最值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而；xh时，y随x的增大而；xh时，y有最值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而；xh时，y随x的增大而；xh时，y有最值k．导航家教-2-向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22.平移规律在原有函数的基础上“h值正移，负移；k值正移，负移”．概括成八个字“左右，上下”方法二：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或）⑵cbxaxy2沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或）四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．五、二次函数2yaxbxc图象的画法画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其、、及，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（）、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点（），（）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.六、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口，对称轴为，顶点坐标为．当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y有最小值．2.当0a时，抛物线开口，对称轴为，顶点坐标为．当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.导航家教-3-注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口，a的值越大，开口，反之a的值越小，开口；⑵当0a时，抛物线开口，a的值越小，开口，反之a的值越大，开口．总结起来，a决定了抛物线开口的和，a的正负决定，a的大小决定．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的，ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左右”3.常数项c⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴，即抛物线与y轴交点的纵坐标为；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标，即抛物线与y轴交点的纵坐标为；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴，即抛物线与y轴交点的纵坐标为．总结起来，c决定了抛物线与y轴位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程导航家教-4-200axbxca的两根．.②当0时，图象与x轴交点；③当0时，图象与x轴交点.1'当0a时，图象落在x轴的，无论x为任何实数，都有y0；2'当0a时，图象落在x轴的，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(，)；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数考查重点与常见题型:二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：1、已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－320抛物线与x轴有交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有实根0抛物线与x轴交点二次三项式的值为非负一元二次方程有实数根0抛物线与x轴交点二次三项式的值恒为正一元二次方程实数根.导航家教-5-（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例1（1）二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个(1)(2)例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①ab0；②2a+cO；③4a+cO；④2a-b+1O，其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D．4个会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于)0,(1xA，)0,(2xB两点)(21xx，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．导航家教-6-例7、“已知函数cbxxy221的图象经过点A（c，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件