用专业的心,做专业的教育二次函数主讲:陈老师一、定义:一般地,如果cbacbxaxy,,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数.例:已知关于x的函数是常数cbacbxaxy,,(2)当a,b,c满足什么条件时(1)是一次函数(2)是正比例函数(3)是二次函数二、二次函数cbacbxaxy,,(2是常数,)0a的性质(1)①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.③|a|越大,开口越小。(2)顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2(3)①当0a时,在对称轴左边,y随x的增大而减小;在在对称轴右边,y随x的增大而增大;②当0a时,在对称轴左边,y随x的增大而增大;在在对称轴右边,y随x的增大而减小。(4)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c)例:1、(2011四川重庆,7,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是(D)A.a0B.b<0C.c<0D.a+b+c0练习:1、(2011山东威海,7,3分)二次函数223yxx的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是(A).A.-1<x<3B.x<-1C.x>3D.x<-1或x>32、(2010湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为1,12,下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;yxO山东威海题图轴下方轴的交点在,抛物线与轴上方,轴的交点在,抛物线与xycxyc00用专业的心,做专业的教育④a+b+c<0.其中正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:cbxaxy2,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2.(2)配方法:khxay2的顶点为(h,k),对称轴是直线hx.(3)利用交点式求对称轴及顶点:21xxxxay,对称轴为221xxx例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴:(1)532xyx(2)72)1(2xy(3))9)(7(3xxy例2、2011江苏淮安,14,3分)抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.(1,-4)四、抛物线的平移方法1:计算机两条抛物线的顶点,由顶点判定平移情况方法2:将函数换成顶点式...,用口决“(x)左加右减,上加下减”例1、抛物线322xxy经过怎样平移得到142xxy答案:向右平移3,再向下移5个单位得到;例2、(2011四川乐山5,3分)将抛物线2yx向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是(A)A.2(2)yxB.22yxC.2(2)yxD.22yx例3、(2011重庆江津,18,4分)将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.(y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27)练习:1、抛物线3222xxy经过怎样平移得到1422xxy2、抛物线322xxy向左平移2个单位,再向上移3个单位得到cbxxy2,求b和c。3、(2011山东滨州,7,3分)抛物线223yx可以由抛物线2yx平移得到,则下列平移过程正确的是(B)A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位用专业的心,做专业的教育个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:khxay2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式:21xxxxay.(4)一般式与顶点式的变换例:1、根据已知条件确定下列函数的解析式:(1)已知抛物线过)05(,3003,),-),(,(-(2)已知抛物线的顶点在x轴上,且过点(1,0)、(-2,4);(3)已知抛物线的顶点坐标为(-2,0),过点(1,4)例2、将换成顶点式和4222622xyxyxx(292,7)21(322xxyy)()练习:1、将换成顶点式和-4735422xyxyxx2、(2011山东济宁,12,3分)将二次函数245yxx化为2()yxhk的形式,则y(2(2)1yx)七、(2cbxaxy)0a与一元二次方程)0(02acbxax的关系acb420=0002cbxax)0(a方程有两个不相等的实数根xx21,方程有两个相等的实数根xx21方程没有实数根cbxaxy2)0(a抛物物与x轴有两个交点),(,0)0(21xxBA抛物物与x轴只有一个交点)0(1,x抛物物与x轴没有交点xxxxAB212421)(用专业的心,做专业的教育韦达定理:acabxxxx2121,(二者都可以用)例1、(2011台湾台北,32)如图(十四),将二次函数228999931+-=xxy的图形画在坐标平面上,判断方程式0899993122=+-xx的两根,下列叙述何者正确?(A)A.两根相异,且均为正根B.两根相异,且只有一个正根C.两根相同,且为正根D.两根相同,且为负根例2、.抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,则AB的长为4,三角形ABC的面积是6。练习:1.已知二次函数22-=axy的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.(22xy=,两个交点)2.(2011湖北襄阳,12,3分)已知函数12)3(2xxky的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(B)A.4kB.4kC.4k且3kD.4k且3k3、(2011广东东莞,15,6分)已知抛物线212yxxc与x轴有交点.(1)求c的取值范围;(2)试确定直线y=cx+l经过的象限,并说明理由.八、二次函数的应用1、求cbacbxaxy,,(2是常数,)0a最大值或最小值①0a,函数有最小值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标;②0a,函数有最大值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题,主要利用各种图形的面积公式,如三角形面积=底21高3、利润问题:利润=销量(售价-进价)-其他4、拱桥问题用专业的心,做专业的教育、(2011广东肇庆,10,3分)二次函数522xxy有(D)A.最大值5B.最小值5C.最大值6D.最小值6例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示(单位:m),要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠,沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为x(m),余下的可耕地面积为y(m2)。(1)请你写出y与x之间的解析式;(2)根据你写出的函数解析式,当水渠的宽度为1m时,余下的可耕地面积为多少?(3)若余下的耕地面积为4408m2,求此时水渠的宽度。例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的定价为多少最合适?最大销售利润为多少?练习:1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答下列问题:(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;(2)设销售单价为每千克X元,月销售利润为Y元,求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围);(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;)2525(109125182xxy+=-用专业的心,做专业的教育(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:4.12,计算结果精确到1米).385227501.011000225=3、.如图6,一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为1.6m,将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线形状,一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处,其头部刚好触到绳子,求绳子最低点到地面的距离。(答案:0.2m)图6附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422,)