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3.5力的分解课前导航小尖劈发大力尖劈能以小力发大力．早在原始社会时期，人们所打磨的各种石器，如石斧、石刀、骨针、镞等等，都不知觉地利用了尖劈的原理．传说我国明朝年间，苏州的虎丘寺塔因年久失修，塔身倾斜，有倒塌的危险，该如何修复此塔呢？有的建议用粗绳子把塔拉正，可一拉反会倒；有的建议用粗绳子把塔拉正，可一拉反会倒；有的建议用大木柱撑住，但很不雅观．一天，一个和尚路过此地，观察斜塔后，自告奋勇地说：“不需人力和财力，我一个人可以把塔扶正。”在场人无不惊疑地取笑他，可和尚不管别人怎么议论，天天提着一个大包走进寺院，包里装了一些一头厚一头薄的木楔(斜面)．他把这些木楔用斧头一个个的从塔身倾斜的一侧的砖缝里敲进去．不到一个月，塔身果然扶正了．请你思考：1．为什么小小几个尖劈，作用却这样巨大，能够把塔身扶正？2．斧头作用在木楔上的力应该怎样分解？3．分力的大小与尖劈的尖角有怎样的关系？基础梳理力的分解力的分解：如果一个力的作用效果可以用几个力来等效替代，这几个力称为这一个力的分力.求一个力的分力叫做力的分解.力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即以已知力作为对角线画平行四边形，与已知力共点的平行四边形的两条邻边表示两个分力的大小和方向.矢量和标量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形法则)的物理量叫做矢量.只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量.三角形法则：把两个矢量首尾相接从而求合矢量，这个方法叫做三角形法则.知识精析一、如何分解一个力1．如果没有条件限制，同一个力F可以分解为大小、方向各不相同的无数组分力，但是我们在分解力时，往往要根据实际情况进行力的分解，具体步骤如下：(1)首先是要根据这个力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．(2)再根据两个实际分力方向作平行四边形，已知力为对角线，实际分力为邻边．(3)然后根据平行四边形知识和相关的数学知识，求出两分力的大小和方向．2．在进行力的分解时，所谓的实际情况，可理解为实际效果和实际需要．下面举几个典型的例子加以说明：(1)按实际效果分解实例分析地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.此时有：F1＝mgsinα，F2＝mgcosα.质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.此时有：F1＝mgtanα，F2＝mgcosα.实例分析质量为m的光滑小球被悬挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.此时有：F1＝mgtanα，F2＝mgcosα.A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2.此时有：F1＝F2＝mg2sinα.质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.此时有：F1＝mgtanα，F2＝mgcosα.(2)按实际需要分解如图16-1所示，在斜面上放一物体，给物体施加一个斜向上的拉力F．此时拉力F的效果既可以看成在竖直方向上提物体，在水平方向上拉物体，也可以看成在垂直斜面方向上提物体，在沿斜面方向上拉物体．应该将该力如何分解，要看题目的要求．图16-1二、力的正交分解1．有时根据处理问题的需要，不按力的作用效果分解，而是把力正交分解(如在求多个力的合力时)，力的正交分解法就是利用数学上的直角坐标系描述力的分解效果，将一个力在直角坐标系中沿相互垂直的两坐标轴分解，如图16-2所示．图16-2力F沿x、y轴分解为两个分力Fx、Fy，其大小分别为Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ.2．正交分解的优点就在于把不在一条直线上的矢量的运算转化成了同一条直线上的运算．三、力的分解中解的确定力分解时有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)．如果能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力能按给定的分力分解，即有解；如果不能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力不能按给定的分力分解，即无解．具体情况可分以下几种：1．已知F的大小和方向及两个分力F1和F2的方向，则F1和F2有确定值．2．已知F的大小和方向及F1的大小和方向，则F2有确定值．3．已知F的大小和方向及F1和F2的大小，则有两种分解方式，如图16-3所示．当|F1-F2|＞F或F＞F1+F2时无解．图16-34．已知F的大小和方向及F1的方向，则分解情况有四种，方法是以F的一端A为圆心，以F2的大小为半径画圆．(1)若F2＜Fsinθ，不能分解(即无解)；(2)若F2=Fsinθ，有一解；(3)若Fsinθ＜F2＜F，有两解；(4)若F2≥F，有一解．方法指导一、对合力、分力、力的分解的正确认识例1一个力F分解为两个力F1和F2，那么下列说法错误的是()A．F是物体实际受到的力B．F1和F2不是物体实际受到的力C．物体同时受到F1、F2和F三个力作用D．F1和F2共同作用的效果与F相同解析正确理解合力和分力的关系是解答此类问题的关键，具体分析如下表所示：答案C选项内容指向，联系分析结论A在力的分解中，合力是物体实际受的力.正确BF1和F2是力F按效果分解的两个分力，不是物体实际受的力.正确C合力和分力不能同时作为物体受的力.错误DF1和F2是力F的两个分力，共同作用效果应该与F的作用效果相同.正确误区警示此题易误选B，认为两分力也是物体实际受到的力.二、分解力的原则——按效果分解例2三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图16-4甲所示．其中OB是水平的，A端、B端固定．若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳()图16-4甲A．必定是OAB．必定是OBC．必定是OCD．可能是OB，也可能是OC分析根据CO绳对O点的作用效果进行分解，作出力的平行四边形，然后根据几何关系进行判断．解析将FC沿AO与BO延长线方向分解(如图16-4乙)，可得AO与BO受到的拉力，在平行四边形中表示AO绳子张力FA的边最长，所以，FA最大，必定是OA先断．图16-4乙答案A变式训练1在例2的已知条件下，(1)若三段绳的最大承受力均为100N，且θ=30°，则各段绳均不断时对应的最大悬挂物的重力为多少？(2)若OA段绳的最大承受力为100N，OB段绳的最大承受力为40N，且θ＝30°，则各段绳均不断时对应的最大悬挂物的重力为多少？(设OC绳不会断)答案(1)50N(2)40N解析(1)OA绳不断时，其他两段绳均不断，那么OA绳中拉力达100N时对应的物体的重力即为悬挂物的最大重力，则：FC＝G＝FA·cosθ＝100×32N＝503N.(2)绳OA刚好不断时对应的最大物重G1＝FC＝FA·cosθ＝503N．绳OB刚好不断对应的最大物重G2＝FC＝FBtanθ＝4033N＝403N，那么要使三段绳均不断，所挂物体的最大重力G2＝403N.三、力的动态问题分析方法例3如图16-5甲所示，半圆形支架BAD，两细绳OA和OB结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化．图16-5甲解析因为绳结点O受重物的拉力F，所以才使OA绳和OB绳受力，因此将拉力F分解为FA、FB(如图16-5乙所示)．OA绳固定，则FA的方向不变，在OB向上靠近OC的过程中,在B1、B2、B3三个位置,两绳受的力分别为FA1和FB1、FA2和FB2、FA3和FB3.从图形上看出，FA是一直逐渐变小的，而FB却是先减小后增大，当OB和OA垂直时，FB最小．图16-5乙点评在用图示法解决动态平衡问题时，应着重注意的是，在动态平衡过程中哪些物理量不变，哪些物理量是变化的，如何变化，通常是确定不变量，围绕该不变量，根据已知方向的改变，变化平行四边形(或三角形)的边角，以确定对应力的变化．变式训练2如图16-6甲所示，一倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹有一重为G的光滑球．试求挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中，球对挡板压力的最小值是多大？图16-6甲解析球的重力产生两个作用效果：一是使球对挡板产生压力；二是使球对斜面产生压力．乙丙图16-6如图乙所示，球对挡板的压力就等于重力沿垂直于挡板方向上的分力F1，在挡板P缓慢转动的过程中，重力G的大小与方向保持不变，分力F2的方向不变，总与斜面垂直，分力F1的大小和方向都发生变化，所以构成的平行四边形总夹在两条平行线OB和AC之间，如图丙所示．由图可知，表示F1的线段中最短的是OD(OD⊥AC)，则分力F1的最小值F1min＝Gsinθ，这个值也就等于球对挡板压力的最小值．四、力的正交分解法的应用例4如图16-7甲所示，位于斜面上的物体A在沿斜面向上的力F作用下处于静止状态，则斜面作用于物体A的静摩擦力()图16-7甲A．方向不可能沿斜面向上B．方向可能沿斜面向下C．大小可能等于零D．大小不可能等于F解析物体静止不动，合外力为零，采用正交分解法建立直角坐标系，则在x方向合力为零．当F=mgsinθ时，物体没有相对运动的趋势，即没有受到静摩擦力，选项C正确；当Fmgsinθ时，物体相对斜面有向上运动的趋势，摩擦力方向应向下，选项B正确；当Fmgsinθ时，物体相对斜面有向下运动的趋势，摩擦力方向应向上，选项A错误；当mgsinθ=2F时，摩擦力应向上且大小应等于F，选项D错误．图16-7乙答案BC点评物体受3个或3个以上的共点力作用时，常用正交分解法，力的正交分解的优点在于：其一，借助数学中的直角坐标系(x，y)对力进行描述；其二，几何图形关系简单，是直角三角形，计算简便．通常坐标系的选取有两个原则：(1)使尽量多的矢量处在坐标轴上；(2)尽量使未知量处在坐标轴上．变式训练3一个物体A的重力为G，放在粗糙的水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，如图16-8甲所示，拉力与水平方向的夹角为θ，为拉动此物体做匀速直线运动，则拉力F为多大？图16-8甲解析物体A受到四个力作用，分别为：拉力F、重力G、支持力FN、摩擦力f.图16-8乙如图16-8乙，将F正交分解为Fx，Fy，则有：Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ又FN＝G－Fyf＝μFN，Fx＝f联立解得：F＝μGcosθ＋μsinθ.答案μGcosθ＋μsinθ