专题八 距离空间的列紧性与紧性(投)1

•距离空间的列紧性与紧性实数集中的列紧性（致密性）专题七距离空间的列紧性全有界性与紧性•距离空间的全有界性实数的有界性•距离空间的列紧性与紧性实数集中的有限覆盖已知：在实直线上，有波尔查诺·维尔斯特拉斯“列紧性定理”成立，而且与完备性定理是相互等价的。问题1：在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？一、距离空间的列紧性21max0)(max0,1,010ntntnttxx]1,0[)(10,01,1limlimCtxttttxtxkknknk引例1考察闭区间[0,1]上的连续函数序列{xn}C[0,1]:xn=xn(t)=tn(n=1,2,…){xn}C[0,1]是有界点列。但是，{xn}C[0,1]是没有收敛子列。事实上，若子列{xnk}{xn},使xnkxC[0,1]函数子列{xnk(t)}在[0,1]上一致收敛于x(t)这与x(t)在[0,1]上连续矛盾。结论：在一般的距离空间(即使是完备的)中，有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。.11,0,10,1tnntnttxnxt101n1引例2C[0,1]中的点列：显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。]1,0[)(10,00,1limCtxtttxtxknk事实上，若子列{xnk}{xn},使xnkxC[0,1]函数子列{xnk(t)}在[0,1]上一致收敛于x(t)这与x(t)在[0,1]上连续矛盾。定义5.1(列紧集与列紧空间)设X是距离空间，AX.(1)如果{xn}A,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称A是列紧集。(2)如果A是列紧闭集，即{xn}A,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称A是自列紧集。(3)如果X本身是(自)列紧集，即{xn}X,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称X是列紧空间。注1）自列紧集列紧闭集对全空间X而言，列紧自列紧列紧闭.2）维尔斯特拉斯“列紧性定理”可以表述为：R中的任何有界集都是列紧集如果A是列紧闭定理5.1(列紧集的性质)设X是距离空间，则(1)X中的任何有限点集都是列紧集;(有限点集是常驻点列)(2)在X中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集；(3)若AX,则A列紧集A是自列紧集证(3)“”设AX列紧，{xn}An,xnAxnA,或xnA’ynA,(xn,yn)1/n(n=1,2,…)A列紧子列{ynk}{yn},ynkyAX(k)(ynk,y)0(k)(xnk,y)(xnk,ynk)+(ynk,y)1/nk+(ynk,y)0(k){xnk}{xn}A,xnkyAA列紧闭A自列紧“”设A自列紧AA是自列紧A列紧(列紧集的子集是列紧集)定理5.2(列紧空间的性质)X是列紧的距离空间X是完备距离空间X中的自列紧集A是X的完备子空间。但反之不然。证设X是列紧空间，{xn}X是基本列X列紧子列{xnk}{xn},xnkxX{xn}X是基本列0,N,当n,nkN时,有(xn,xnk)当nN,k时,有(xnk,x)=lim(xnk,xn)(距离函数连续性)xnxX(n)X完备但反之不然。例如，R是完备距离空间，但序列{n}R中没有任何收敛子列，因而R不是列紧空间。然而，R中的任何有界集都是列紧集。二、距离空间的全有界性1—网与全有界集定义5.2(—网)设X是距离空间，AX,BX.如果0,A能被B中个点的开球S(x,)的全体所覆盖，即BxxSA),(则称B是A的一个—网。例1R2中一切整数格点所构成的集A={(m,n)|m,nZ}构成了R2的一个3/4—网。例2设A={(x,y)|x,y均为无理数},B={(x,y)|x,yQ},则0,B都构成了A的一个—网，从而也构成了R的一个—网。（由于有理数在R中的稠密性）注:1）B是A的一个—网yA,xB,使(x,y)；2）A的—网可以是A的子集，也可以不是A的子集.定义5.3(全有界集)设X是距离空间，AX.如果0,A的有限的—网B={x1,x2,…,xn},则称A为全有界集.例3闭区间[0,1]使R中的全有界集。证0,取n1/,则有1/n.构造有限点集B={0,1/n,2/n,…,(n-1)/n}[0,1]x,yB是相邻两点，有(x,y)=1/n.B中各点的开球的全体覆盖了AB是[0,1]区间一个有限的—网[0,1]区间是全有界集。注1)对全有界集A,一定能找到它的有限—网BA.2)全有界集A的有限的—网的构造方法：首先，构造一个有限点集B={x1,x2,…,xn}A；然后，选取网中个开球的公共半径，x,yB是相邻两点，有(x,y).例4距离空间(X,)中的基本列构成一个全有界集证设A={xn}X是一个基本列0,N,当m,nN时,(xm,xn)当nN,m=N+1时,(xN+1,xn),即xnS(xN+1,)构造有限集B={x1,x2,…,xN+1}AxnS(xn,)(n=1,2,…,N),xnS(xN+1,)(nN)B中各点的任意开球的全体覆盖了A0，B都是A的一个有限的—网A是全有界集01000,max1,,,,xxxxxxxxXxiniii定理5.3(全有界集的性质)设X是距离空间，AX是全有界集，则（1）A一定是有界集；（2）A一定是可分的。证(1)AX是全有界集对=1,A的一个有限的1—网B={x1,x2,…,xn}AxA,k,使xS(xk,1),即(xk,x)1A有界。(2)AX是全有界集（只要证明A有可数的稠密子集）对k=1/k,A的有限1/k—网Bk={x1(k),x2(k),…,xnk(k)}AkkkxSAxBBknikikk1,,0,)1,(,1)(1使取令),(1),(),1,(,)()()()(000xSxkxxkxSxBBxkikikikkio即使B在A中稠密；又BA是至多可数集，故A可分.定理5.4(全有界集的充要条件)设X是距离空间，AX,则A是全有界集A中任何点列必存在基本子列。knikkinxSAx1)(),(}{证“”设AX是全有界集，{xn}A，对k=1/k,A的有限k—网Bk={x1(k),x2(k),…,xnk(k)}A,使的中心）是其中是基本列，且时，有当使取，对子列且的一个子列包含相应地对kknkkkkkkpkpkpkpkpkkpkpkpknkkknnnnknnkkikSxxxxxxxxxSSxKKxxxxxxkxxxSSk*)()(**)()()()()()()2()1()()((}{}{)(),(),(,Kk,2//1,,0}{}{...}{...}{}{}{,...,2,1},{}{),(,“”反证法设{xn}A有基本子列。若AX不是全有界集，00,A没有有限的0网x1A,S(x1,0)不能覆盖AA\S(x1,0)非空x2A\S(x1,0),S(x2,0)S(x2,0)不能覆盖AA\S(x1,0)S(x2,0)非空,x3A\S(x1,0)S(x2,0),…xn,xm{xn}A,当nm时，有110),(\niinxSMx00),(),(mnmnxxxSx{xn}的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。因此，A是全有界集。定理5.5(豪斯道夫定理—全有界集与列紧集的关系)(1)设X是距离空间，AX是列紧集A是全有界集(2)设X是完备距离空间,则AX是列紧集A是全有界集证(1)设AX是列紧集{xn}A，子列{xn(k)},xn(k)xX(k){xn(k)}是{xn}的基本子列A是全有界集。(2)“”在(1)中已证。“”设A是全有界集，{xn}A{xn}有基本子列{xn(k)}X完备{xn(k)}{xn}A收敛A是列紧集2全有界集与列紧集的关系注：在不完备的距离空间中,全有界集不一定是列紧集.例如，C[-1,1]按距离111)()(),(dttytxyx不完备，其中的点列{xn}:,...)2,1(]1,/1(,1]/1,/1[,]/1,1[,1)(nntnntntnttxn是基本列，因而A={xn}是(C[-1,1],1)中的全有界集，但是它在C[-1,1]中没有收敛子列，故A={xn}不是列紧集。推论5.1(有界集与列紧集的关系)设X是距离空间，AX是列紧集A是有界集推论5.2(列紧集与可分集的关系)设X是距离空间，则(1)AX是列紧集A是可分集；(2)X是列紧空间X是可分的。（即列紧空间中存在一个稠密的可数子集。）证(1)AX是列紧集A是全有界集A是可分集;(2)X是列紧空间X是全有界空间X是可分空间.证A是列紧集A是全有界集A是有界集注在R中，有1)A是列紧集A是有界集2)A是自列紧集A是列紧闭集A是有界闭集3几个常用距离空间中列紧集的特征定理5.6(Rn中列紧集的特征)设ARn,则A是列紧集A是有界集证若A是列紧集A是全有界集A是有界集若A是有界集,{xk}ARn,xk={x1(k),x2(k),…,xn(k)}{xk}是有界点列对每个i(i=1,2,…,n),{xi(k)}是有界数列对每个i(i=1,2,…),{xi(k)}存在收敛子列，设时列紧集。是收敛子列有使AAxxjxxxxxxxxjxxniikknikkjxxxxkknkikikkikinjjikikikijnjnjnjjnjjij}{}{)}(,...,,{},...,,{)(),,...,2,1(},{}{),...,2,1},{})({(},{}{)0()0(2)0(10)()()(1)0()()()0()()()()()()()()1()(证必要性设AC[a,b]是列紧集(1)A是列紧集A是有界集(在距离意义下）A是一致有界集(在函数意义下)定义5.4(一致有界和等度连续)设AC[a,b]，1)如果K0,x(t)C[a,b],有|x(t)|K，则称A是一致有界的；2)如果0,()0,使对x(t)C[a,b]及t1,t2[a,b],当|t1t2|时,有|x(t1)x(t2)|，则称A是等度连续的。定理5.7(C[a,b]中列紧集的特征)设AC[a,b],则A是列紧集A是一致有界且等度连续的(阿尔采拉—阿斯可利(Arzel-Ascoli)定理)(2)A是列紧集A是全有界集0,A的有限/3-网{x1(t),x2(t),…,xn(t)}x(t)A,xi(t)(1in),使得(xi,x)/3|xi(t)x(t)|/3(t[a,b])xi(t)(i=1,2,…,n)C[a,b]xi(t)(i=1,2,…,n)在[a,b]上均一致连续()0,使得当|t1-t2|时,有|xi(t1)-xi(t2)|/3(i=1,2,…,n)x(t)A,当|t1-t2|时,有|x(t1)