莫尔应力圆

3粉体静力学3.1莫尔应力圆3.2莫尔库仑定律3.3壁面最大主应力方向3.4朗肯应力状态3.5粉体应力计算一、粉体的应力规定3.1莫尔应力圆粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力达到其抗剪强度。粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为正，拉应力为负；切应力是逆时针为正，顺为负。zzzyzxyzyyyxxzxyxx二、莫尔应力圆1、为什么叫莫尔圆(Mohr’sCircle)？首先由OttoMohr（1835-1918）提出（一位工程师）来由——一点无穷多个微元上的应力能否在一张图上表示？把看成参数，能否找到与的函数关系？①莫尔圆是一种作图法②将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后可得一圆的方程。该圆即为莫尔应力圆。ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德国，16岁入Hannover技术学院学习。毕业后，在铁路工作，作为结构工程师，曾设计了不少一流的钢桁架结构和德国一些最著名的桥梁。他是19世纪欧洲最杰出的土木工程师之一。与此同时，Mohr也一直在进行力学和材料强度方面的理论研究工作。1873年,Mohr到德累斯顿(Dresden)技术学院任教，直到1900年他65岁时。退休后,Mohr留在德累斯顿继续从事科学研究工作直至1918年去世。Mohr提出了用应力圆表示一点应力的方法（所以应力圆也被成为Mohr圆），并将其扩展到三维问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。Mohr对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移等。2、研究内容研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。1）主应力与主应力面2）主应力相互正交3）任意一面上：正应力和剪应力一点应力状态的表示方法：？？？◇任意斜面上的应力在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关系。取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合力为零。30sincossin0xdsdsds10cossincos0ydsdsds1313cos22213sin22◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力由前两式平方并相加，整理得2221313()()22莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应面上的应力状态。在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个圆，圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+σ3)/2,半径为(σ1-σ3)/2,该圆就称为莫尔应力圆。3.2莫尔-库仑定律莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑总结出粉体（土）的抗剪强度规律。库仑定律是莫尔强度理论的特例。此时莫尔破坏包线为一直线。以库仑定律表示莫尔破坏包络线的理论称莫尔—库仑破坏定律。法国军事工程师在摩擦、电磁方面奠基性的贡献1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。库仑（C.A.Coulomb）(1736-1806)3.2莫尔-库仑定律citan库仑定律对于非粘性粉体τ=σtgφi对于粘性粉体τ=c+σtgφi一、粉体的抗剪强度规律粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在（σ，τ）坐标中是直线：IYF莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在IYF的下方时，粉体将处于静止状态；粉体内某一点的莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动或流动状态库仑粉体：符合库仑定律的粉体CC二莫尔-库仑定律把莫尔应力圆与库仑抗剪强度定律互相结合起来。通过两者之间的对照来对粉体所处的状态进行判别。把莫尔应力圆与库仑抗剪强度线相切时的应力状态，破坏状态—称为莫尔－库仑破坏准则，它是目前判别粉体(粉体单元)所处状态的最常用或最基本的准则。根据这一准则，当粉体处于极限平衡状态即应理解为破坏状态，此时的莫尔应力圆即称为极限应力圆或破坏应力圆，相应的一对平面即称为剪切破坏面（简称剪破面）。τ-σ线为直线a：处于静止状态τ-σ线为直线b：临界流动状态/流动状态τ-σ线为直线c：不会出现的状态莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系：1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方；2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切；3.抗剪强度线与莫尔圆相割。3.2莫尔-库仑定律①莫尔圆Ⅰ位于破坏包络线IYF的下方，说明该点在任何平面上的剪应力都小于极限剪切应力，因此不会发生剪切破坏；②莫尔圆Ⅱ与破坏包络线IYF相切，切点为A，说明在A点所代表的平面上，剪应力正好等于极限剪切应力，该点就处于极限平衡状态。圆Ⅱ称为极限应力圆；③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力。粉体的极限平衡条件tgcfABDOτστ＝τf极限平衡条件莫尔－库仑破坏准则极限应力圆破坏应力圆剪切破坏面3.2莫尔-库仑定律临界流动状态或流动状态时，两个滑移面：S和S’滑移面夹角90-φi滑移面与最小主应力面夹角45-φi/2，与最大主应力面夹角45+φi/2莫尔圆半径：p*sinφ3.2莫尔-库仑定律1(1sin)cotiipc3(1sin)cotiipc最大主应力最小主应力cos2cos(1sincos2)cotxxiiipRcpccos2cos(1sincos2)cotxxiiipRcpc(1sincos2)cotyyiipcsin2sinsin2yxxyiRp3.2莫尔-库仑定律粉体处于临界流动状态或流动状态时，任意点的应力3.2莫尔-库仑定律MolerusⅠ类粉体：初始抗剪强度为零的粉体MolerusⅡ类粉体：初始抗剪强度不为零，但与预压缩应力无关的粉体MolerusⅢ类粉体：初始抗剪强度不为零，且与预压缩应力有关的粉体，内摩擦角也与预应力有关CC总结⑴粉体的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变⑵粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪强度所致(τ＝τf)；⑶破裂面不发生在最大剪应力作用面(a=45°，该面上的抗剪强度最大)上，而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上，即与大主应力面成交角的斜面上。⑷如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏，可得几个莫尔极限应力圆，这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出，库仑强度包络线可视为一直线。⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。tanftanfc045/2【例题】某砂土地基的ф=30°，C=0，若在均布条形荷载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）【解】用四种方法计算。⑴σ3、Φ、c→σ1：这表明：在σ3=30kPa的条件下，该点如处于极限平衡，则最大主应力为90kPa。故可判断该点已破坏。2213tan(45)30tan60901002kPakPa3.3壁面最大主应力方向库仑粉体：CC粉体在壁面处的滑移条件在（σ，τ）坐标中也是直线：WYF；壁面粗糙时，WYF与IYF接近重合。ABCDΦIYEWYFWYEIYFst若壁面应力状态对应A点：2180()3.3壁面最大主应力方向若壁面应力状态对应B点：2360()若壁面应力状态对应C点：ww23.3壁面最大主应力方向若壁面应力状态对应D点：2180()sinsinsinsinsinsinwwiiRpRp3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态朗肯主动应力状态朗肯被动应力状态3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态被动土压主动土压3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态yyBgy朗肯主动应力状态，根据莫尔－库仑定律为**cot(1sin)cotAAAiAiipRcpc3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态**cot(1sin)cotAAAiAiipRcpc*(1sin)cotyyAiipcP49(3-17)P49(3-16)3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态**cot(1sin)cotAAAiAiipRcpc*(1sin)cotyyAiipc1sincos21sin1siniiAyyiic1sin1sin1sin1siniiAyyBABiigyKgyc=03.4朗肯(Rankine,1957)应力状态1sin1siniAiKKA－朗肯主动应力系数，简称主动态系数MolerusI类粉体:KA是临界流动状态时，最小主应力与最大主应力之比3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态朗肯被动应力状态，根据莫尔－库仑定律为*(1sin)cotPPiipc*(1sin)cotyyPiipc1sincos21sin1siniiPyyiic1sin1sin1sin1siniiPyyBPBiigyKgyc=03.4朗肯(Rankine,1957)应力状态Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数MolerusI类粉体:KP是临界流动状态时，最大主应力与最小主应力之比。被动态应力σP与主动态应力σA之比等于1sin1siniPiK2P)sin1sin1(iiAPAKK3.4朗肯(Rankine,1957)应力状态朗肯主动应力状态朗肯被动应力状态3.5粉体应力计算3.5.1詹森（Janssen)公式液体容器：同一水平面压力相等，帕斯卡定理和连通器原理成立粉体容器：完全不同。假设：（1）容器内粉体层处于极限应力状态（2）同一水平面的铅垂压力相等，水平和垂直方向的应力是主应力（3）物性和填充状态均一，内摩擦因数均一ph3.5粉体应力计算3.5.1詹森（Janssen)公式222()444zzBzzzzzzDDgDD4zzBdgdzDrzDzτwδzσzzδσzzτwMolerusI类粉体tanrr3.5.1詹森（Janssen)公式σrr和σzz是主应力，根据朗肯应力关系rrzzKK是Janssen应力常数，当σrr和σzz确是主应力时Janssen应力常数就是朗肯应力常数4tanzzzzBKdgdzD4tanexp()zzKCzD积分3.5.1詹森（Janssen)公式4tanexp()zzKCzD求导4tan4tan4tanexp()exp()zzKKKddCzCzdzdzDDD4tanexp()BKdCgzdzD4tan'exp()4tanBKgDCCzKD3.5.1詹森（Janssen)公式4tan'exp()4tanBzzKgDCzKD边界条件:0z0zz04tan4tan[1exp()]exp()4tanBzzKKgDzzKDD04tan4tan=K[1exp()]exp()4tanBrrzzKKgDzKzDD04tan4tantan=[1exp()]tanexp()4BrrKKgDzKzDD3.5.1筒体应力分析00如果z=0的面为自由表面zzwwzzrrwwBzzKKzDKKgD4exp14詹森（Ja