2018微专题九 平面几何知识在立体几何中的应用 (共29张PPT)

高考微专题九平面几何知识在立体几何中的应用在使用综合几何方法解决立体几何问题时,在空间几何体的某个面上往往需要运用平面几何知识得出需要的结论,下面我们择要介绍平面几何知识在立体几何中的应用.应用一三角形中位线定理【例1】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l.思路点拨:思路1.证明MN∥平面BCC1B1;思路2.证明MN所在的一个平面平行平面BCC1B1.证明:法一(线面平行的判定和性质方法)连接BC1,在△A1BC1中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点,所以MN∥C1B,又MN⊄平面BCC1B1,C1B⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1,又因为MN⊂平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l.法二(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P,连接MP,NP.在△A1B1C1中,点M,P分别为A1C1,A1B1的中点,所以MP∥C1B1,又因为MP⊄平面BCC1B1,C1B1⊂平面BCC1B1,所以MP∥平面BCC1B1,同理可证NP∥平面BCC1B1.又因为MP∩NP=P,MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,所以平面MNP∥平面BCC1B1,又因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面BCC1B1.又因为MN⊂平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l.反思归纳三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理,通过找中点,连结中点得出三角形的中位线,达到证明线线平行的目的,进一步实现证明线面平行、面面平行的目的.应用二平行四边形的判定与性质【例2】如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2,N为线段PB的中点.证明:NE⊥PD.思路点拨:选取BD中点,证明四边形NFCE为平行四边形.证明:连结AC与BD交于点F,则F为BD的中点,连结NF,因为N为线段PB的中点,所以NF∥PD,且NF=12PD,又EC∥PD且EC=12PD,所以NF∥EC且NF=EC.所以四边形NFCE为平行四边形,所以NE∥FC,即NE∥AC.又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥PD,因为NE∥AC,所以NE⊥PD.反思归纳立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等,判定该四边形为平行四边形,则该四边形的另一组对边平行.也经常运用平行四边形的对角线互相平分,判定线段的中点.应用三勾股定理及逆定理【例3】(2017·山东肥城高三升级测试)在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AEEB=CFFA=CPPB=12(如图1),将△AEF折起到△A1EF的位置上,连接A1B,A1C(如图2).(1)求证:FP∥平面A1EB;(2)求证:EF⊥A1B.思路点拨:在未折叠的图形中通过计算,证明AF2=AE2+EF2,从而证明EF⊥AE,再结合立体图形寻找线线垂直,证明线面垂直后得出结论.证明:(1)因为CPPB=CFFA,所以FP∥BE,又BE⊂平面A1EB,FP⊄平面A1EB,所以FP∥平面A1EB.(2)不妨设正三角形ABC的边长为3,则AE=1,AF=2,又因为∠EAF=60°,所以EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=12+22-2×1×2cos60°=3,所以EF=,因为在△AEF中,AF2=AE2+EF2,所以EF⊥AE,即EF⊥AB.则在图2中,有EF⊥A1E,EF⊥BE,因为A1E∩BE=E,A1E⊂平面A1EB,BE⊂平面A1EB,所以EF⊥平面A1EB,又A1B⊂平面A1EB,所以EF⊥A1B.3反思归纳当一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和时,该三角形为直角三角形,该结论为勾股定理的逆定理,是立体几何中证明共面的直线互相垂直的常用方法.应用四等腰三角形、正三角形的性质【例4】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,△PAD为等边三角形,且∠DAB=60°,求证:AD⊥PB.思路点拨:三角形ABD,PAD均为正三角形,取AD的中点E,连接PE,EB,则PE,EB均与AD垂直,证明AD⊥平面PBE,从而证得结论.证明:取AD的中点E,连接PE,EB,因为△PAD为等边三角形,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,E为AD的中点,所以BE⊥AD.PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE,又PB⊂平面PBE,所以AD⊥PB.反思归纳等腰三角形底边上的中线垂直底边,在立体几何中常用该结论得出线线垂直.应用五菱形的性质【例5】如图(1),在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图(2)的五棱锥P-ABFED,且PB=.(1)求证:BD⊥平面POA;10思路点拨:(1)利用菱形的对角线互相垂直;(1)证明:因为点E,F分别是边CD,CB的中点,所以BD∥EF.因为菱形ABCD的对角线互相垂直,所以BD⊥AC.所以EF⊥AC.所以EF⊥AO,EF⊥PO.因为AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,所以EF⊥平面POA.所以BD⊥平面POA.(2)求四棱锥P-BFED的体积.思路点拨:(2)通过勾股定理逆定理证明PO⊥BO.(2)解:设AO∩BD=H,连接BO,因为∠DAB=60°,所以△ABD为等边三角形.所以BD=4,BH=2,HA=23,HO=PO=3.在Rt△BHO中,BO=22BHHO=7,在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,所以PO⊥BO.因为PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,所以PO⊥平面BFED.梯形BFED的面积为S=12(EF+BD)·HO=33,所以四棱锥P-BFED的体积V=13S·PO=13×33×3=3.反思归纳菱形是四边长度相等的平行四边形,其对角线互相垂直平分,既可得出线线垂直,也可得出中点.特别是有一个内角为60°的菱形,是由两正三角形组成的,具有更特殊的性质.应用六矩形、正方形的性质【例6】导学号49612205如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分别为PC,BD的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;22思路点拨:(1)F也是AC的中点;证明:(1)连结AC∩BD=F,ABCD为正方形,F为AC中点,E为PC中点.所以在△CPA中,EF∥PA,且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PDC.思路点拨:(2)证明PA⊥平面PDC.证明:(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABCD为正方形,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA,又PA=PD=22AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=π2,即PA⊥PD,CD∩PD=D,且CD,PD⊂平面PDC,所以PA⊥平面PDC,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.反思归纳矩形的四个内角均为直角,两组对边分别平行,对角线互相平分,在正方形中对角线互相垂直平分,利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论.应用七梯形的性质与有关计算【例7】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.(1)求证:BM∥平面ADEF;思路点拨:(1)取DE中点,寻找平行四边形;证明:(1)取DE中点N,连结MN,AN.在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,所以MN∥CD,且MN=12CD.由已知AB∥CD,AB=12CD,所以MN∥AB,且MN=AB.所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN.又因为AN⊂平面ADEF,且BM⊄平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.思路点拨:(2)证明BC⊥BD.可得BC=22.在△BCD中,BD=BC=22,CD=4,所以BC⊥BD.所以BC⊥平面BDE.又因为BC⊂平面BCE,所以平面BDE⊥平面BEC.证明:(2)在正方形ADEF中,ED⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,反思归纳梯形只有一组对边平行,在立体几何中经常出现两种特殊的梯形.(1)直角梯形,其中梯形的上底等于直角腰长,等于下底长度的二分之一,该梯形的一条对角线垂直非直角腰;(2)等腰梯形,上底等于下底的二分之一,底角等于60°,该类梯形的两条对角线垂直对应的腰.应用八三角形的相似与全等【例8】如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E是BC的中点,F在SE上,且SF=2FE.求证:AF⊥平面SBC.思路点拨:利用已知线段的比例关系,证明△EFA∽△EAS,从而证得AF⊥SE.证明:由AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E是BC的中点,得AE=2.因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AE.在Rt△SAE中,SE=6,所以EF=13SE=63.因此AE2=EF·SE,又因为∠AEF=∠AES,所以△EFA∽△EAS,则∠AFE=∠SAE=90°,即AF⊥SE.因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥BC,又BC⊥AE,所以BC⊥底面SAE,则BC⊥AF.又SE∩BC=E,所以AF⊥平面SBC.反思归纳利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理,证明角的相等,求出线段长度之间的数量关系等.应用九圆的有关知识【例9】导学号49612206如图,E是以AB为直径的半圆上异于A,B的一点,矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面,且AB=2AD=2.(1)求证:EA⊥EC;思路点拨:(1)利用半圆上的圆周角为直角得出线线垂直;(1)证明:因为矩形ABCD⊥平面ABE,CB⊂平面ABCD且CB⊥AB,所以CB⊥平面ABE,从而AE⊥BC,①又因为在半圆ABE中,AB为直径,所以∠AEB=90°,即AE⊥BE,②由①②知AE⊥平面BCE,故有EA⊥EC.(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F,EF=1,求三棱锥E-ADF的体积.思路点拨:(2)等积转化.(2)解:因为AB∥CD,所以AB∥平面DCE.又因为平面DCE∩平面ABE=EF,所以AB∥EF,在等腰梯形ABEF中,EF=1,AF=1,∠AFE=120°,所以S△AEF=12×EF×AF×sin120°=34,EADFV=DAEFV=13×S△AEF×AD=13×34×1=312.反思归纳在与圆柱、圆锥、球等旋转体有关的问题中经常用到圆的知识,主要有:(1)半圆上的圆周角是直角;(2)同弧上的圆心角为圆周角的二倍.