2018微专题五 平面向量题的求解策略 (共20张PPT)

高考微专题五平面向量题的求解策略平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算,在解题中既可以按照几何的思路处理、也可以通过运算解决问题,解平面向量的题目有一些策略,用好这些策略可以顺利地解决问题.策略一用好共线向量定理及其推论思路点拨:过点P作BC平行线,交AB,AC于点M,N,利用共线向量定理,使用AM,AN表示AP,再利用共线向量定理使用a,b表示AM,AN,得出λ,μ满足的条件,再根据基本不等式求最值.【例1】导学号49612141在△ABC中,AB=2a,AC=3b,设P为△ABC内部及其边界上任意一点,若AP=λa+μb,则λμ的最大值为.解析:过点P作BC平行线,交AB,AC于点M,N,设NP=tNM,则有AP=tAM+(1-t)AN(0≤t≤1),设AM=mAB,则有AN=mAC(0≤m≤1),所以AP=tmAB+(1-t)mAC,所以AP=2tma+3(1-t)mb,所以2,31,tmtm所以λ≥0,μ≥0,3λ+2μ=6m≤6,由3λ+2μ≥26得26≤6,所以λμ≤32,λμ的最大值为32.答案:32反思归纳(1)A,B,C三点共线时,一定存在实数λ,使得AB=BC或AB=AC等;(2)A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得OC=tOA+1tOB或OC=OA+OB,λ+μ=1.策略二用好平面向量基本定理思路点拨:根据共线向量定理、向量的线性运算法则,用a,b表示AF.【例2】在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF等于()(A)14a+12b(B)23a+13b(C)12a+14b(D)13a+23b解析:如图,E为OD中点,则BE=3DE,因为AB∥CD,则AB=3DF,OB-OA=3AF-3AD,-12BD+12AC=3AF-3ODOA,3AF=12BD+12AC+3×12BD+3×12AC,3AF=2AC+BD,则AF=23AC+13BD,即AF=23a+13b.故选B.反思归纳平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量e1和e2,平面内的任何一向量a都可以用向量e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2,并且这种表示是唯一的,即若λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则必有λ1=μ1,λ2=μ2.这样,平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1,λ2的代数运算,而且为利用待定系数法解题提供了理论基础.策略三用好向量的坐标表示【例3】(1)(2016·河南豫南九校高三下一联)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值是.(2)(2016·湖南益阳4月调研)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为CD的中点,若N为该菱形内任意一点(含边界),则AM·AN的最大值为.思路点拨:根据平面图形的特点,建立平面直角坐标系,把向量坐标化后,建立求解目标函数的关系式,然后求其最值.解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(2,0).设B(0,b),b0,则C(1,b).因为∠ACD=90°,所以AC·DC=0,即(1,b)·(-1,b)=0,解得b=1,所以B(0,1),C(1,1).设P(x,y),DP=DC(0≤λ≤1),则(x-2,y)=λ(-1,1),得x=2-λ,y=λ,即P(2-λ,λ).|PA+3PB|=|(λ-2,-λ)+3(λ-2,1-λ)|=|(4λ-8,3-4λ)|=224834=2328873,0≤λ≤1,根据二次函数性质,上式当λ=1时取最小值,故其最小值为328873=17.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C3,3,D1,3,M2,3,设N(x,y),则AM·AN=23xy,其中(x,y)所在的区域即为菱形及其内部的区域.设z=23xy,则3z的几何意义是直线系z=2x+3y在y轴上的截距,结合图形可知,在点C处目标函数取得最大值,最大值为2×3+3×3=9.答案:11729反思归纳向量坐标化后,所有的问题均可以通过计算求解,这种方法对难度较大的平面向量试题非常有用.策略四用好两向量垂直的条件【例4】导学号49612142设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+coscosABACABBACC,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心思路点拨:论证λcoscosABACABBACC⊥CB.解析:coscosABACABBACC·(AB-AC)=2cosABABB-2cosACACC+cosACABACC-cosABACABB.在△ABC中,记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则上式即为coscB-cosbC+coscoscAC-coscosbAB=coscoscoscoscoscoscoscoscCbBcABbACBC.根据正弦定理,上式的分子为2R(sinCcosC-sinBcosB+sinCcosAcosB-sinBcosAcosC)=112sin2sin2cossin22RCBACB=2R{12sin[(B+C)-(B-C)]-12sin[(B+C)+(B-C)]+cosAsin(C-B)}=2R[-cos(B+C)sin(B-C)+cosAsin(C-B)]=2R[-cosAsin(C-B)+cosAsin(C-B)]=0.所以coscosABACABBACC·(AB-AC)=0,所以coscosABACABBACC⊥CB.又向量cosABABB+cosACACC经过点A,所以向量λcoscosABACABBACC与△ABC的BC边上的高线所在的向量共线.因为OP=OA+coscosABACABBACC,所以点P在△ABC的BC边上的高线上,所以点P的轨迹经过△ABC的垂心.故选D.反思归纳两非零向量垂直的充要条件是其数量积为零,利用该结论可以证明平面图形中的直线与直线垂直、也可以根据两向量垂直求未知的参数值等.策略五用好向量运算的几何意义【例5】导学号49612143已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是.解析:设a,b夹角为θ,a·b=2×3cosθ=3,得cosθ=22,因为0≤θ≤π,所以θ=π4.建立如图所示的平面直角坐标系,a=(1,1),b=(3,0),设c=(x,y),思路点拨:根据已知条件,在特定的坐标系中把向量a,b固定,只使得向量c运动,得出c的坐标满足的方程,得出其几何意义,再利用向量减法的几何意义得出结果.则c-2a=(x-2,y-2),2b-3c=(6-3x,-3y).因为(c-2a)·(2b-3c)=0,所以(x-2)(6-3x)+(y-2)(-3y)=0,整理得x2+y2-4x-2y+4=0,即(x-2)2+(y-1)2=1,即向量c的终点在以(2,1)为圆心、1为半径的圆上,根据向量减法的几何意义,可知|b-c|的最大值为223201+1=2+1.答案:21点击进入阶段检测试题