36不等式恒成立问题的解法

数学解题绝招1一、方法引入：１.数形结合法:(1）若f(x)=ax+b,x∈[α,β]，则：f(x)0恒成立f(x)0恒成立αβoxyf()0f()0f()0f()0数学解题绝招2（2）ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C0或a0Δ=b2-4ac0同理，ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C0或a0Δ=b2-4ac0数学解题绝招3数学解题绝招42.分离系数法：把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：____________的思想，去解不等式的方法。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]min二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30................(*)（1）当|x|≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.当1-m0时，即m1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：解：(1)当1-m=0即m=1时，(*)式恒成立，故m=1适合(*)；(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+30当1-m0时，即m1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：△=(m-1)2-12(I-m)0，解得:-11m1；解得:1m23综上可知:适合条件的m的范围是:（-11，）23数学解题绝招5则g(m)0恒成立g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30解:(2)设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3)（m[-2,2]）即xR21312131x∴x（，）21312131例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30................(*)（1）当|x|≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.数学解题绝招6练习1:对于一切|p|≤2，p∈R，不等式x2+px+12x+p恒成立，则实数x的取值范围是：——————————（-∞，-1）∪（3，+∞）小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。数学解题绝招7例2、①若不等式x2logax对x（0,）恒成立，则实数a的取值范围是————————.②若不等式x2-kx+20,对x[-3,3]恒成立，则实数k的取值范围是——————————.2110xy21y=x2y=logx16141在同一坐标系下作它们的图象如右图:①解：设y1=x2(x(0,))y2=logax21由图易得:≤a＜11611,116数学解题绝招8y=x2+22-2３-３211y=kxy=2x2y=-2x2②解：原不等式可化为：x2+2kx例2、①若不等式x2logax对x（0,）恒成立，则实数a的取值范围是————.②若不等式x2-kx+20,对x[-3,3]恒成立，则实数k的取值范围是—————————.21设y1=x2+2(x[-3,3])y2=kx在同一坐标系下作它们的图象如右图:由图易得:-2k222(-,)2222xy0数学解题绝招91,116小结:3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。练习2、若≤kx-1对x∈[1,+)恒成立，则实数k的取值范围是：_____________。x[2，+∞）数学解题绝招10例3、若不等式x+2≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则实数a的取值范围是—————————。xy令（t0）txy解:分离参数得:a≥yxxy2x又令1+2t=m（m1），则f(m)=2)21m(1m2)m5m(4∴a≥[f(x)]max=即a≥215215(当且仅当m=时等号成立)521525245m22mm4121yxyx恒成立2t1t21,则a≥（t0）恒成立数学解题绝招1151,2小结：4、使用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。数学解题绝招12注意：ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]min例４、已知a0，函数f(x)=ax-bx2，（1）当b1，证明对任意的x∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:b-1≤a≤2；（2）当0b≤1时,讨论:对任意的x∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。b数学解题绝招13∵x∈(0,1]，b1∴bx+≥2(x=时取等号)bb1x1bx-≤a≤+bxx1x1解:(1)b1时,对x∈(0,1],|f(x)|≤1-1≤ax-bx2≤1bx2-1≤ax≤1+bx2故x∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:b-1≤a≤2b∴(bx-)max=b-1(x=1时取得)x1又bx-在(0,1]上递增x1又x=0时，|f(x)|≤1恒成立∴x∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:b-1≤a≤2b数学解题绝招14故(bx+)min=b+1(x=1时取得)x1(2)0b≤1时，对x∈(0,1]，|f(x)|≤1恒成立此时(bx-)max=b-1(x=1时取得)x1故（*）式成立的充要条件为:b-1≤a≤b+1∴x∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:0＜a≤b+1……（*）x1x1(bx-)max≤a≤(bx+)min而bx+在(0,1]上递减x1又x=0时，|f(x)|≤1恒成立∴x∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:0＜a≤b+1又a0数学解题绝招15三、方法小结：2、对于f(x)≥g(x)型问题，或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理；或利用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。1、数形结合法：即对于一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解；对于二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。数学解题绝招164、已知f(x)=(xR)在区间[-1，1]上是增函数。（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意aA及t[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。1、当x(0,1)时，不等式x2loga(x+1)恒成立，则实数a的取值范围是_____________。3、若不等式ax2-2x+20对x(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。2、若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立，则实数a的取值范围是_____________。2xax22四、练习题：x1数学解题绝招17