3.1《回归分析的基本思想及其初步应用》课件

选修2-31、两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？1020304050500450400350300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？xy施化肥量水稻产量施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455散点图最小二乘法：ˆˆˆy=bx+a(x,y)称为样本点的中心。ˆˆˆn(x-x)(y-y)iii=1b=n2(x-x)ii=1a=y-bx.nn11其中x=x,y=y.iinni=1i=1niii=1n22ii=1xy-nxy=,x-nxˆ1.234ˆ1.235ˆ1.230.08ˆ0.081.23AyxByxyxyx、、C、D、1、已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（）C练习：200703262、某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为…………（）A．83%B．72%C．67%D．66%A问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：ˆˆˆybxa121()()ˆ()niiiniixXyYbXXˆˆaYbXnxxi其中：nyyi　心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yxnxxi其中：nxxi其中：nyyi　nyyi　例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数模型和回归模型。解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2.回归方程：172.85849.0ˆxyˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：注：随机误差e包含预报体重不能由身高的线性函数解释的所有部分。2,:0,ybxaeEeDe线性回归模型 ybxaey其中ａ和ｂ为模型的，是与之间的误差。通常ｅ称为未知参数随机误差。 ybxaey其中ａ和ｂ为模型的，是与之间的误差。通常ｅ称为未知参数随机误差。 ybxaey其中ａ和ｂ为模型的，是与之间的误差。通常ｅ称为未知参数随机误差。 ybxaey其中ａ和ｂ为模型的，是与之间的误差。通常ｅ称为未知参数随机误差。2,:0,ybxaeEeDe线性回归模型函数模型与“回归模型”的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine1122nniii残差：一般的对于样本点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。,1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine1122nniii残差：一般的对于样本点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。,1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine1122nniii残差：一般的对于样本点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。iiieybxa（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（2）残差点分布在以O为中心的水平（3）分析残差图带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。iiieybxa（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（2）残差点分布在以O为中心的水平（3）分析残差图带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382残差图的制作及作用。•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；•若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；•对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？选变量解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93估计参数由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73相关指数R2=0.7464所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。050100150200250300350036912151821242730333639当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函数模型y=c1x2+c2变换y=c1t+c2非线性关系线性关系问题１选用y=c1x2+c2问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温问题2如何求c1、c2？t=x2方法二，二元函数模型平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900105012001350t产卵数气温变换y=bx+a非线性关系线性关系43cxyce-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540对数方法三：指数函数模型温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51产卵数y/个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912151821242730333639xz当x=28oC时，y≈44，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为z=0.272x-3.849，相关指数R2=0.980.272x-3.849ye对数变换：在中两边取自然对数得令，则就转换为z=bx+a44333434lnln()lnlnlnlnlncxcxycececcxecxc43cxyce34ln,ln,zyacbc43cxyce函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.802指数函数模型0.98最好的模型是哪个?显然，指数函数模型最好！