初二期中试卷中的几何模型

优能中学部初中数学项目初二期中试卷中的几何模型一．八字模型A+B=C+DP=12（B+D）【对应练习】1.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，D=28°，则A+B+C+F的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°【解答】解：∵如图可知BED=F+B，CGE=C+A，又∵BED=D+EGD，F+B=D+EGD，又∵CGE+EGD=180°，C+A+F+B﹣D=180°，又∵D=28°，A+B+C+F=180°+28°=208°，故选：C．2.如图，BE与CD相交于点A，CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线．EF与CD交于点M，CF与BE交于点N。优能中学部初中数学项目（1）若D=70°，BED=30°，则EMA=____________（度）。（2）若B=60°，BCD=40°，则ENC=____________（度）。（3）F与B、D有怎样的数量关系？证明你的结论。【解答】解：（1）∵EF为BED的平分线，BED=30°，DEM=FEN=12BED=15°．又∵EMA=D+DEM，D=70°，EMA=85°．故答案为：85°．（2）∵CF为BCD的平分线，BCD=40°，BCN=FCM=12BCD=20°．又∵ENC=B+BCN，B=60°，ENC=80°．故答案为：80°．（3）F=12（B+D）．证明：∵EMA=D+DEF=F+DCF，ENC=B+BCF=F+BEF，D+DEF+B+BCF=F+DCF+F+BEF．又∵CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线，DEF=BEF，DCF=BCF．B+D=2F．优能中学部初中数学项目即：F=12（B+D）．二．飞镖模型C=A+B+DDCE=12（ADB+AEB）+A三．角平分线模型O=90°+12∠AD=90°－12∠AA=2E【对应练习】1.如图，BP平分DBC，CP平分ECB，若A=α，则BPC=_________．【解答】解：∵BP平分DBC，CP平分ECB，BCP=12BCE=12（A+CBA），CBP=12CBD=12（A+ACB），BCP+CBP=A+12（CBA+ACB），又∵BCP+CBP=180°﹣P，CBA+ACB=180°﹣A，180°﹣P=A+12（180°﹣A），优能中学部初中数学项目∵A=α，P=90°﹣12α，故答案为：90°﹣12α．2．已知△ABC中，A=50°．（1）如图①，ABC、ACB的角平分线交于点O，则BOC=°．（2）如图②，ABC、ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则BO2C=°．（3）如图③，ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求BOn﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知ABC、ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若BOn﹣1C=60°，求n的值．【解答】解：∵BAC=30°，ABC+ACB=150°，（1）∵点O是ABC与ACB的角平分线的交点，OBC+OCB=12（ABC+ACB）=75°，BOC=105°；（2）∵点O2是ABC与ACB的三等分线的交点，O2BC+O2CB=23（ABC+ACB）=100°，BO2C=80°；（3）∵点On﹣1是ABC与ACB的n等分线的交点，优能中学部初中数学项目On﹣1BC+On﹣1CB=𝑛－1𝑛（ABC+ACB）=𝑛－1𝑛×150°，BOn﹣1C=180°﹣𝑛－1𝑛×150°（4）由（3）得：180°﹣𝑛－1𝑛×150°=60°，解得：n=5．四．剪切1+2=180°+C2A1=1+22-1=2A2【对应练习】1.在三角形纸片ABC中，A=65°，B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若1=20°，则2的度数为________【解答】解：∵A=65°，B=75°，C=180°﹣（65°+75°）=40°，CDE+CED=180°﹣C=140°，2=360°﹣（A+B+1+CED+CDE）=360°﹣300°=60°．故选：B．五．一线三等角【对应练习】优能中学部初中数学项目1.如图，△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AECD于E，BDCD于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为（）A．8B．5C．3D．2【解答】解：∵ACB=90°，ACE+DCB=90°，∵AECD于E，ACE+CAE=90°，CAE=DCB，∵BDCD于D，D=90°，在△AEC和△CDB中{∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐵∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐷=90𝐴𝐶=𝐵𝐶，△AEC≌△CDB，（AAS），AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，DE=CD﹣CE=3cm，故选：C．2.如图，△ABC中，AB=AC，A=58°，BP=CE，BD=CP，则DPE=_________．优能中学部初中数学项目【解答】解：∵AB=AC，A=58°，DBP=ECP=61°，又∵BP=CE，BD=CP，在△DBP和△PCE中，{𝐵𝑃=𝐶𝐸∠𝐷𝐵𝑃=∠𝐸𝐶𝑃𝐵𝐷=𝐶𝑃，△DBP≌△PCE（SAS），BDP=EPC，又∵DBP=61°，DPB+BDP=119°，DPE=180°﹣（DPB+EPC）=180°﹣（DPB+BDP）=61°．故答案为：61°．六．拉手模型【对应练习】1.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤AOB=60°；⑥OC平分AOE．其中不正确的有（）个．优能中学部初中数学项目A．0B．1C．2D．3【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形AC=BC，CD=CE，BCA=DCB=60°ACD=BCE△ACD≌△BCEAD=BE，故①正确；由（1）中的全等得CBE=DAC，进而可求证△CQB≌△CPA，AP=BQ，故③正确；又∵PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，PQC=DCE=60°，PQ∥AE②成立，∵QCP=60°，DPC=BCA+PAC＞60°，PD≠CD，DE≠DP，故④DE=DP错误；∵BC∥DE，CBE=BED，∵CBE=DAE，AOB=OAE+AEO=60°，故⑤正确；同理可得出AOE=120°，OAC=OCD，DCE=AOC=60°，OC平分AOE，故⑥正确，优能中学部初中数学项目故正确的有①②③⑤⑥共5个，故选：B．2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)请猜想:DC与BE的数量关系,并给予证明;(2)求证:DCBE【解答】（1）解：DC=BE；理由如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90°．ABC=ACB=45°，BAC+CAE=EAD+CAE．即BAE=CAD，在△ABE与△ACD中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐷，△ABE≌△ACD（SAS），DC=BE；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，ACD=ABE=45°，优能中学部初中数学项目又∵ACB=45°，BCD=ACB+ACD=90°，DCBE．3.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．（1）求证：BD=CE；（2）OA平分BOE吗？说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60°，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在△BAD和△CAE中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸，△BAD≌△CAE（SAS），BD=CE；（2）OA平分BOE．理由如下：作AFBD，AGCE，垂足分别是F、G，如图，∵AF、AG恰好是两个全等三角形△BAD与△CAE对应边上的高，AF=AG，OA平分BOE．优能中学部初中数学项目4.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60°．BAC﹣CAD=DAE﹣CAD，即BAD=CAE．在△ABD和△ACE中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸，△ABD≌△ACE（SAS），BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，优能中学部初中数学项目AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60°．BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE在△ABD和△ACE中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸△ABD≌△ACE（SAS）BD=CECE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC=BC，AD=AE，BAC=DAE=60°．BAC﹣BAE=DAE﹣BAE，BAD=CAE优能中学部初中数学项目在△ABD和△ACE中，{𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐸△ABD≌△ACE（SAS）BD=CE．∵BC=CD﹣BD，BC=CD﹣CE，AC=CD﹣CE．七．倍长中线【对应练习】1.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,BAC=BCA,求证:AE=2AD.【解答】证明：延长AD至M，使DM=AD，∵AD是△ABC的中线，DB=CD，在△ABD和△MDC中{𝐵𝐷=𝐶𝐷∠𝐴𝐷𝐵=∠𝑀𝐷𝐶𝐴𝐷=𝐷𝑀，△ABD≌△MCD（SAS），MC=AB，B=MCD，∵AB=CE，CM=CE，优能中学部初中数学项目∵BAC=BCA，B+BAC=ACB+MCD，即ACM=ACE，在△ACE和△ACM中{𝐴𝐶=𝐴𝐶∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝑀𝐶𝑀=𝐶𝐸，△ACM≌△ACE（SAS）．AE=AM，∵AM=2AD，AE=2AD．2．已知△ABC中，A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF．求证：△DEF为等腰直角