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初中数学总复习专题研究——热点问题分析热点一:方程与函数方程与函数都是初中数学的重点内容，当然也是考试的热点。以函数为例说明复习方法：函数是初中数学的核心内容．函数是有效表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，函数是发展学生符号感的有效载体．因此，它既是重要的基础知识，又是重要的数学思想---------函数思想．初中数学中，重点研究了一次函数（正比例函数）、反比例函数和二次函数图象和性质及其应用，它们在中考试卷中分布极广，在填空、选择和解答题中均有体现．具体考查形式有（1）直接考查函数的概念和性质函数的有关概念和性质是需要学生重点掌握的基础内容之一，我市的中考试卷中，就有许多直接考查一次函数（正比例函数）、反比例函数和二次函数图象和性质的试题．例如，06年第5题考查函数自变量的取值范围第11题就需要学生直接根据一次函数和反比例函数解析式的特点，结合它们各自的性质，来确定它们图象的大致位置；而07年第10题则利用反比例函数的图象和性质，来确定三角形的面积第11题则是二次函数和与二次方程的一个结合点；同样的，08年第10题则将反比例函数和二次方程结合起来．2006年潍坊市中考题5．函数中，自变量的取值范围是（）A．B．C．且D．且2007年潍坊市中考题10．设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A平行于x轴，PA与P’A交于A点，则的面积（）A．等于2B．等于4C．等于8D．随P点的变化而变化2008年潍坊市中考题5．某蓄水池的横断面示意图如右图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是（）hhtOA．htOB．htOC．htOD．12．若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值这类题往往直接考察函数的基本概念和性质，难度不大，复习时主要训练学生基础知识的掌握,注重课本的复习，精选各种题型进行练习，能迅速看透题目考查的实质，这样问题解决起来就容易了。（2）联系实际，突出应用一次函数的知识是我市中考的必考内容，这也体现了对数学《考试说明》所提出的重点知识重点考查要求的落实．近几年对一次函数知识的考查，虽然都是以实际问题为背景，以考查一次函数的图象和性质为重点，以知识的综合与运用为目的，但是，仔细观察与分析后，我们不难发现：这一类型试题的思维含量和知识的综合程度，明显呈现出上升趋势．06年的第20题以城市供水这一人人熟悉的情景为背景，考查一次函数的应用；2006年潍坊市中考题20．（本小题满分9分）据《潍坊日报》报道，潍坊市物价局下发了《关于调整潍坊市城市供水价格的通知》，本通知规定自今年5月1日起执行现行水价标准（见下表）．用水类别基本水价（元/吨）代收污水处理费（元/吨）代收水资源费（元/吨）综合水价（元/吨）居民生活、行政事业用水基数内1.800.900.503.20基数外一档2.700.900.504.10基数外二档3.700.900.505.10工业生产用水……………（1）由上表可以看出：基数内用水的基本水价为1.80元/吨；基数外一档［即超基数50%（含）以内的部分］的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；基数外二档（即超基数50％以外的部分）的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；（2）若李明家基数内用水为每月6吨，5月份他家用水12吨，那么李明家5月份应交水费（按综合水价计算）多少元？若李明家计划6月份水费不超过30元，那么李明家6月份最多用水多少吨？（精确到0.01）（3）形成函数模型联系实际，突出应用，重点考查二次函数模型的功能和作用，二次函数的有关知识，既是重点，又是难点，同时也是许多重要知识的交汇点，因此，对二次函数的考查，常常会出现在压轴题的位置．例如：07年中考第21题以现实生活中销售蔬菜为背景考查二次函数的应用，形成数学建模。08年中考第22题则是函数与方程的结合。2007年潍坊市中考题21．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价p（元/千克）的关系如下表：上市时间（月份）123456市场售价（元／千克）10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）。（1）写出上表中表示的市场售价p（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A，B，C点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）2解答这类题时，学生要认真分析题意，迅速从题目中找出函数模型，确定出函数解析式，根据实际题意与函数的知识相结合，把实际情景中的问题转化为函数知识，如坐标系中点的坐标的实际意义，函数图象与几何图形中线段长的关系，图象交点之间的关系等。在09年的复习备考中，我们在重视二次函数经典题型的同时，更要关注类似于06、07年24题的命题方式，即体现二次函数知识形成与应用全过程的试题．同时也不要忽视直接考查二次函数的有关概念和性质的题目。热点二：空间与图形“空间与图形”所考查的内容对严格逻辑推理的要求有所降低，对圆的要求也相对减弱，加强了对学生实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求，增加了视图与投影和图形的平移与旋转等知识，强化了对轴对称的要求，适当渗透空间观念，侧重数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力的考查.以四边形为例说一下：四边形部分的概念、性质和定理较多，大部分要求学生能够在探索的前提下理解和掌握．四边形，特别是特殊四边形，与学生们的生活实际息息相关，同时，又为数学上证明线段相等和角相等提供了理论依据．另外，四边形的有关问题常常转化为用三角形的有关知识进行解决，多边形的许多问题也是通过转化，用三角形和四边形的知识达到解决的目的．因此，四边形在中考命题的领域里扮演着重要的角色，同样是中考数学试卷中必考的内容，考查方式也是灵活多变，丰富多彩．（1）填空题选择题这类题目虽是中考中的小题，但它却不能小看，此类题目综合能力强，它往往运用到其他一些知识点，属于小题中的难点。06年中考12题就用到正方形、旋转、直角三角形的知识.07年中考12题考查了矩形、垂直、三角形相似的有关内容，有一定难度，学生的失分率非常高.08年中考11题则是平行四边形与相似的结合.2006年潍坊市中考题12．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（）ABCDA．B．C．D．2007年潍坊市中考题12．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连结CE，则的周长为（）A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm2008年潍坊市中考题DD1D2AA1A2A3A4B1B2CC2C1C3C4B11．在平行四边形中，点，，，和，，，分别是和的五等分点，点，和，分别是和的三等分点，已知四边形的面积为1，则平行四边形的面积为（）A．B．C．D．（2）三角形四边形圆等空间图形的证明与计算在近年的考试中每年都出现解答题或证明题，以此用来考察学生基础知识的掌握和基本能力的形成情况．这类题目一般出现在试卷的大题中，有时是试卷的压轴题，所占分值较大，所以必须引起我们的高度重视.06年中考21题圆与三角形的结合题主要考查圆的有关知识和三角形相似；07年中考22题又是圆与三角形、四边形的综合题；而08年中考20题还是圆与三角形相似21题为平行四边形、三角形相似以及几何图形的面积计算等.2007年中考题22．（本题满分10分）如图1，线段过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作，垂足为D，连结AC，BC。（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；（3）在图2中，证明：AD·AB=AC·AE。2008年潍坊市中考题ADFEBC如图，为平行四边形，，，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的长；（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．在“空间与图形”的复习中，我们在夯实基础的前提下，要善于将学生从思维的定势中解脱出来，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养学生思维的广泛性、缜密性和创新性。对课本中典型的例、习题，要多引申、多研究，不能就题做题。要以课本中的典型例题为载体，剖析题目本身所蕴含的知识价值和教育价值，达到“以全带面，做一题会一片”。热点三：统计与概率统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要．因此，统计与概率知识是中考重点考查内容．从潍坊市中考题来看这部分内容每年都考：06年中考18题用统计知识分析劳动力市场的供求状况；07年中考18题分析参加学业水平考试的考生数学成绩（等级）情况；08年中考18题则是北京地区气温与时间统计，根据数据分析得出概率.从潍坊市近三年的中考题看这类题都出现在大题的18题分值均为8分.2006年潍坊市中考题18．根据潍坊市2006年第一季度劳动力市场职业供求状况分析，其中10个职业（职业小类）的需求人数（百人）和求职人数（百人）的数据表格如下：职业纺织工车工电子元器件制造工电焊工保险业务人员行政办公人员财会人员文秘、打字员卫生职业技术人员计算机操作员需求人数（百人）16312387513312191145求职人数（百人）71532922204952371514（1）写出求职人数（百人）的中位数；（2）仿照右图中需求人数折线图，画出求职人数的折线图；（3）观察图表，比较需求人数与求职人数，你得到什么结论．（只需写出2至3项即可）2007年潍坊市中考题18．2006年潍坊市学业水平考试数学学科的考试成绩以等级公布。以县（市）为单位将所有考生成绩按由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，五个等级所占比例依次为15%，20%，30%，20%，15%。小明所在学习小组随机抽查本学校2006年毕业学生，了解参加学业水平考试的考生数学成绩（等级）情况，统计如下表：成绩（等级）ABCDE人数162024128（1）根据小明所在学习小组抽查到的学生数学成绩五个等级人数的分布情况，绘制扇形统计图；（2）根据小明所在学习小组的调查，估计2006年全校1320名参加数学考试的学生中，数学成绩（等级）为A，B等的考生各有多少人？（3）根据抽查结果，请你对小明所在学校参加2006年学业水平考试的数学成绩在全县（市）内的情况发表自己的看法。这类题在中考中属于中档题，应提高学生的得分率。在复习过程中注重训练学生认真分析图表的能力，并让学生明白此类题只要细心做，一般都能做出来，提高解题的信心，切忌急噪失分。热点四：实际应用题近几年的中考试题中，每年都要出一道涉及实际应用或有实际生活背景的数学应用题。这样做，可以体现数学的工具性，实用性，引发学习者更全面地认识数学，学好数学。这些应用题，主要围绕函数知识、方程与不等式知识，统计与概率等知识编制试题，这些试题可分为二种：一是教材中已出现的应用题或改编题；二是有实际生活背景，情境新颖的数学问题。2008年潍坊市中考题18．国际奥委会2003年6月29日决定，2008年北京奥运会的举办日期由7月25日至8月10日推迟到8月8日至24日，原因与北京地区的气温有关．为了了解这段时间北京地区的气温分布状况，相关部门对往年7月25日至8月24日的日最高气温进行抽样，得到如下样本数据：时间段日最高气温样本数据（单位：℃）7月25日至8月10日42383635373835343333353331312932298月8日293229333330