7.3牛顿迭代法和割线法

设是方程的根，又为附近的一个值，将在点做泰勒展式x之间和在其中020000)()(21)()()()(xxfxxxfxxxfxf则令*xx)()(21)()()()(020*00*0*fxxxfxxxfxf7.3.1Newton迭代法§7.3牛顿迭代法和割线法0)(xf0x)(xfx0x去掉的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：0*xx0)()()(000*0xfxxfxxf)()(0001*xfxfxxx,......1,0)()(1nxfxfxxnnnn以此产生的序列{xn}得到的近似解，称为Newton法，又叫切线法。0)(xfNewton迭代法几何解释例题例7.3.1用Newton法求的近似解。解：由零点定理0cos)(xxxf内有根。在)2,0(0cosxx迭代公式得及由Newtonxxfsin1)(,......1,0sin1cos1nxxxxxnnnnn085133739.0739085133.0739085133.0739085178.0;73936133.044*43210xxxxxxx故取得取例2.3.2用Newton法计算解：220)(2aaxxf其中迭代公式得及由Newtonxxf2)(,......1,0)2(212221nxxxxxxnnnnnn。有十位有效数的近似值是已的精确值相比，。与，，则取332102414213562.1414215686.11.416666675.1xxxxxNewton迭代法算法框图Newton迭代法算法。输出转做输入1101001001000)(;)2(;01)2;/)||);();()(;,)1(xendwhilexxthenxxifffxxfxffxffx:41while(3)27.3.2Newton迭代法收敛性定理7.3.1设函数，且满足若初值满足时，由Newton法产生的序列收敛到在[a,b]上的唯一根。],[)(2baCxf上恒正或恒负。在],[)()3]);,[(,0)()2;0)()()1baxfbaxxfbfaf],[0bax0)()(00xfxf0)(xf证明：根的存在性根的唯一性内至少有一个根。在知）及由条件（),(0)(],,[)(1baxfbaCxf。记此根为内有唯一根在上严格单调函数，因此是故保号，知及由*,),(0)(],[)()(],bC[a,)(,0)(xbaxfbaxfxfxfxf收敛性))(()(0)()(0)(,0)(,0)(],,[0)()(0)(,0)(,0)(,0)(010000001000*000xxxfxfxxfxfxxxfxfxfbxxxfxfxfxfbfaf即有，所以知，由，不妨设继续上述推理有代替。再以因此有两式相减展式由另一方面0101*20*01*20*0*00*0)()()(21))((21))(()()(0Taylor,xxxxxxxxffxxxxfxxxfxfxf。，由根的唯一性知可得时当由。故必有极限，记。是单调减有下界的序列故序列*10011*0)(,,...2,1)()(lim}{......xaafnnxfxfxxaxxxxxxxnnnnnnnnn推论在定理7.3.1条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。故结论成立。之间，则与介于其中，证明，一般有类似定理证明0)()(21lim)()()(211.3.2*'*''21*2*1n*xfxfeexxxxxffxxnnnnnnnn7.3.2割线法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在，因此有时使用较不方便。用弦的斜率近似的替代成为需要。0)(xf)(xf)()()()())(,(P))(,(P,,],[)(10101111100010*xxxxxfxfxfyxfxxfxbxaxxbaxf得弦的方程及则过，取上有唯一零点在设在Newton迭代法中用弦的斜率代替得到：,...)2,1()()()()(111nxxxfxfxfxxnnnnnnn)(xf称为割线法或弦截法割线法在开始时，要用到两个不同的根的近似值作为初值。割线法的几何解释,...)2,1()()()()(111nxxxfxfxfxxnnnnnnn例用割线法求方程在区间（1，2）内的实根。解：取x0=1，x1=2，代入公式计算，结果如表2.4.1所示。01)(3xxxf,...)2,1()()()()(111nxxxfxfxfxxnnnnnnn)()()(1)()1()1(111313131131313nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxkxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.3372064440.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8割线法算法。输出停止计算输出失败信息时做输入LxNLffffxxxxLLxfffffxxxxfxffxffLNxx,)(;)3;;;;)2;1);(;)||)();(),(,0)(;,,,:)(21102110221010112111001024endwhile,thenif1while321则其中如果的根是为足够小的正数设定理0|)(|max|,)(|max12,0)(,],,[],[,,[)(1212***2xfmxfMmMqxfxxxbabaCxfbxabxa]。的敛速收敛到以确定的序列由*011215}{,...2,1)()()(xpxnxfxfxfxxxxnnnnnnn割线法收敛定理