7.4刚体定轴转动的动能定理

上页下页结束返回第七章刚体力学§7.4刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功二、刚体定轴转动的动能定理三、刚体的重力势能四、刚体对转轴的角动量守恒定律上页下页结束返回第七章刚体力学dMrFrFrFAzdddd若刚体转过的角位移为Δ，则力作的功为ddΔ0Δ0zMrFA作用于刚体的外力的功，可用外力对转轴的力矩所做的功来计算.力矩的功率：单位时间内力矩作的功zzzMtMtAPdddd一、力矩的功FOzrFFdzFPrrd刚体中某P点在力的作用下发生了位移，则力的元功为Frd力矩的元功上页下页结束返回第七章刚体力学二、刚体定轴转动的动能定理当刚体绕定轴转动时,其动能为刚体上所有质量元作圆周运动动能的总和.2k21zIE2kk21iiivmEE2221iirm22)(21iirm2k21iiivmE任意质量元的动能为：1.刚体定轴转动的动能刚体的动能上页下页结束返回第七章刚体力学2.刚体定轴转动的动能定理2022121zziIIAA外外zzIM作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于刚体绕定轴转动动能的改变量.dΔ0iziMA外外dd0dtIz0dzI0dIz外力矩的功上页下页结束返回第七章刚体力学三、刚体的重力势能cmgyEp刚体的重力势能与把质量全部集中在质心处的一个质点的重力势能相等.iigymEpgymii)(mgymmii)(刚体的重力势能等于各质量元重力势能之和。上页下页结束返回第七章刚体力学[例题1]（p233)装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤质量为m2，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落h高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长.1m2mhR解法1.利用质点和刚体转动的动能定理求解.22T221vmhFghm2212T4121RmIRF由质点动能定理由刚体动能定理上页下页结束返回第七章刚体力学RvhR联立求解，得：21222mmghmv解法2.利用质点系动能定理求解将转动柱体、下落物体视作质点系由质点系动能定理221222222)21(21212121RmvmIvmghmRv联立求解，得：21222mmghmv1m2mhR上页下页结束返回第七章刚体力学解法3.利用转动定律求解1m2mhR)4(2)3()2(21)1(mT-gm2222ahvramRITRa联立求解，得：21222mmghmv上页下页结束返回第七章刚体力学[例题2](P234)均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.O上页下页结束返回第七章刚体力学[解](1)由机械能守恒得221Imghclhc21231mlI联立得gllv3Ep=0OClg3上页下页结束返回第七章刚体力学(2)根据质心运动定理camWFNmrmaFctNt分量式ccrvmmgF2NnNFneteCEp=0W杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以0NtFlgllvlrcc322,21mgmgmgFF2523NnN方向向上.上页下页结束返回第七章刚体力学刚体对转轴的角动量守恒定律：当定轴转动的刚体所受的合外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。恒量得：ILz在定轴转动中,如果Mz=0,由角动量定理四、刚体对转轴的角动量守恒定律（p168)1221dIItMttz上页下页结束返回第七章刚体力学角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量.角动量守恒条件：刚体所受的合外力矩为零0M若I不变，ω不变；若I变，ω也变，但不变.IL讨论在冲击等问题中，因内力矩远大于外力矩，此时，角动量守恒。上页下页结束返回第七章刚体力学刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动、花样滑冰、跳水运动员跳水、运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。W11.AVI上页下页结束返回第七章刚体力学例1：芭蕾舞演员开始绕自身轴张开手臂转动时的角速度为ω0，转动惯量为I0，她将手臂收回使I减为I0/3，求芭蕾舞演员将手臂收回时的角速度ω。解：根据角动量守恒定律：00II00II00310II03上页下页结束返回第七章刚体力学ll/2CABMNh例2一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的同质量演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?(设跷板是匀质的，长度为l，质量为，跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．)m上页下页结束返回第七章刚体力学解碰撞前M落在A点的速度由机械能守恒得：21M)2(ghv碰撞后的瞬间，跷板、M、N具有相同的角速度ω2lu设M、N具有相同的线速度为ll/2CABMNh上页下页结束返回第七章刚体力学M、N和跷板组成的系统，角动量守恒22M21121222mllmlmuIlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得ll/2CABMNh上页下页结束返回第七章刚体力学演员N以u起跳，达到的高度，由机械能守恒：hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh上页下页结束返回第七章刚体力学例3质量很小长度为l的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率垂直落在距点O为l/4处，并背离点O向细杆的端点A爬行．设小虫与细杆的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4O上页下页结束返回第七章刚体力学220)4(1214lmmllmvl0712v解：虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒上页下页结束返回第七章刚体力学l0712v由角动量定理tttLMddId)I(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg上页下页结束返回第七章刚体力学作业：P2567.4.27.5.1