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乘和除的情境模型MultiplicationandDivisionasModelsofSituationBrianGreer市北師數學資訊研究所G921404李勇諭整理前言：回顧這一章的研究，目的是在顯露出簡明的數學背後所隱藏的心理學的複雜性。這一章分成四個部分來討論：1.從乘除的應用範圍，還有有關於運算的外在表徵的多樣性中來說明2.從各個觀點來看現今的理論架構，讓複雜性更能完善地說明3.乘除塑造了許多可以區域別的情鏡種類，而且當乘除超過了正整數的領域之後，對乘除的概念再結構是必須的4.未來電腦在數學的潛力，以及教學上的改善與未來研究的議題乘除在心理學上的複雜性整數乘法和除法的應用最基本學習數字的方法是數數的活動，也引出了正整數（或是所謂的自然數），而在包含乘法與除法情境中最重要的種類包括了相等的集聚（equalgroups）、乘法的比喻、笛卡兒積與矩形面積。Ex.：3個小孩每人都有4塊蛋糕，那他們一共有幾個蛋糕？4×3＝12在這裡的4是被乘數，3是乘數，然後在去積出答案；然後在除法的意義原型中可以分成兩類：1.等分除：將所有的物件全等地分給每一個對象，這比較符合社會上公平的內涵2.包含除：將所有的物件，按某個固定的量去分，分到不能分為止相等的集聚在很多地方都能看得到：Ex.每一個小孩有4塊蛋糕，那3個小孩一共有幾塊？這種4×N＝answer的形式將變數關係連結在一起。倍數的比較的口頭敘述方式是：「什麼的幾倍」，Ex.John的蘋果是Mary的3倍，Mary有4顆蘋果，那John有幾顆？笛卡兒積則提供了一個相當不同的情境，Ex.有4個男生和3個女生在跳舞，那可能會有多少種不同的舞伴組合？這形式定義為M×N，每一個M中的元素都有N種選擇，相對M來說也是一樣。這也可以轉變成另一種問題：有12種舞伴的組合（a）有3個女生，那有幾個男生或（b）有4個男生，那有幾個女生這兩種問題。最後就是矩形的面積，如一個4×3的矩形，那我們可以把它分割成12個1×1的正方形，那我們就能看出有12個小正方形；我們也可以將MN排列成M列N行的陣列，而這樣的陣列也是種笛卡兒積的關係。有理數的沿伸在運算中，除法會引出兩種情況（a）所得到的數字可能會超出自然數的範圍（b）以數字當度量器具。在（a）中，分數的形式出現，可表示成b/a，a和b都是整數，定義a÷b＝c，則b×c＝a；以這個例子來看：14個披薩平分給個人，每人可得幾個？如果沒有分數那答案就會是4個，會餘2個，但這沒有全部分完，但2個不能分給3人啊，因此轉換一個觀點，將2個披薩切成幾部分，這樣就有可能寫出答案。這結果將會是每人得到b/a個。另一個b/a的運用在於部分全體的關係，Ex.全班有36個人，2/3是女生，那女生有幾人？這樣的問題是有關於「建構單位問題」，Behr和Post認為這樣的問題不可能放在國小的課程標準裡面。而在表徵上有很多的方式呈現，最方便的是圓，但這不是唯一的表徵圖形。而透過分割成小正方形的矩形則是提供了傳統在直觀上可接受的分數在乘法上的定義（DeMorgan）。更進一步的延伸是來自於測量時所增加的範圍和情境的複雜性。然而如果在量度時，為了要求精確的程度，那細分下的部分就會無窮無盡，因此我們把他設定一個細分的因子「10」，從十進位的系統來看整數或非整數都會變得較為容易；但是隱藏起來對於學生經驗的困難點在於文字題和計算的部份；有關比例的問題情緒就有許多種，如速率問題、價格問題和混合物問題等等。應用的範圍：摘要乘法和除法的題目類型可以列出如【表13-1】，而除法又必須分成兩類：被乘數的除法和乘數的除法。分類乘法問題相等的集聚3個小孩，每人各有4顆橘子，他們共有幾顆？相等的量3個小孩，他們各有4.2公升的果汁，他們共有多少果汁？比例一艘船的平均速度是每秒4.2公尺，那3.3秒可行駛多遠的距離？量的換算一英寸＝2.54公分，3.1英寸＝？公分倍數的比較鐵是銅的0.88倍重，如果一塊銅塊有4.2公斤重，那一塊同體積的鐵有多重？部份全體有3/5的學生通過了大學考試，如果有80個人參加考試，有幾個人通過？倍數的改變一條橡皮圈可以伸展成原來的3.3倍，那一條4.2公尺長的橡皮圈最多可以伸展到多長？笛卡兒積從A到B有3條路線，從B到C有4條路線，那從A到C有幾種不同的走法？矩形面積長3.3公尺，寬4.2公尺的矩形面積是多少？量的積一個暖氣機每4.2個小時就花了3.3千瓦的電，那一小時會花幾千瓦呢？表13.1分類除法問題（乘數）相等的集聚12顆橘子給3個小孩平分，每人可得幾顆？相等的量12.6公升的果汁讓3個小孩平分，每人可得？公升比例一艘船3.3秒內行駛了13.9公尺，那它的平均速度是多少？量的換算3.1英寸＝7.84公分，那一英寸＝？公分倍數的比較鐵是銅的0.88倍重，如果一塊鐵塊有3.7公斤重，那一塊同體積的銅有多重？部份全體有3/5的學生通過了大學考試，如果有48個人通過考試，有幾個人參加考試？倍數的改變一條橡皮圈可以伸展成原來的3.3倍，當最多可以伸展到13.9公尺長的橡皮圈它原來的長度是？分類除法問題（被乘數）相等的集聚12顆橘子要給？個小孩平分，每人才能得到4顆？相等的量12.6公升的果汁要讓？個小孩平分，每人可得4.2公升比例一艘船平均速度是每秒4.2公尺，那行駛13.9公尺要花幾秒？量的換算那一英寸＝2.54公分，7.84公分＝？英寸倍數的比較如果一塊鐵塊有3.7公斤重，一塊同體積的銅有4.2公斤重，那鐵對於銅的重量關係是如何？部份全體有80個學生參加大學考試，如果有48個人通過考試，那麼通過考試的人佔全部的幾分之幾？倍數的改變最多可以伸展到13.9公尺長的橡皮圈，它原來的長度是4.2公尺，那它最多可以伸展幾倍？而在這兩類除法中，在笛卡兒積、矩形和量的積這幾種類型的題目，是除數和被除數都是一樣的單位，對調時在解釋的意義上是一樣的。外部表徵表徵的方式相當的多樣性，這些表徵的普遍要點在於：1.比推得的量更容易表現出物件的集合和計量的量2.動態電腦教學會比靜態教學來得更加有力3.表徵可以變形成另一種表徵方式來幫助了解與計算現行理論的觀點數學結構的Vergnaud’s分析Vergnaud（1983，1988）他以他所謂的『倍數結構的概念領域』的大量情境來設定乘法和除法，他的定義包含了所有可以用簡單和複合比例的問題來分析的情境，這些問題通常是要乘或除的，幾種數學概念的種類和這些情境有關，在思考上則是需要去掌控的。Vergnaud（1983）將乘法問題分成主要的三類：計量的同構、計量的積、乘法比例。計量的同構包含了所有有關兩個測量空間M1和M2之間的直接比例問題，他的概要圖示為：他將之前的表中所提到的前7種分類都納入在這一個分類中，其中一個項目是1，剩下的3個是未知數，這樣的表徵方法顯示了乘法或除法與比例推理的連結間的緊密性，這種表格式的表徵方式可以幫助兒童解決文字題。計量的積是由兩個測量空間M1和M2映射到第三個空間M3，他的概要圖示和例子如下：這樣的類型不能像計量的同構那樣把兩種類型的除法區分地很清楚。Vergnaud引用了一個例子來說明倍數比例：一個家庭有4個人，他們全家去度假13天，每天平均一人要花35美元，那他們這個假期一共要花多少錢？4×13＝52M1M21abc小孩橘子143？3個小孩，每人各有4顆橘子，請問他們共有幾顆橘子？秒公尺1？3.313.9一艘船在經過了3.3秒後走了13.9公尺，那它的平均速度多少？乘法乘數的除法英寸公分12.54？7.84一英寸2.54公分，那7.8公分等於幾英寸？被乘數的除法（a）（b）（c）（d）圖13.2M11a1bM21cM3長度（公分）13.314.2寬（公分）1？面積長3.3公分，寬4.2公分的矩形面積多少？千瓦13.31？小時113.9千瓦小時一個電熱器一小時使用了3.3千瓦，那13.9個千瓦小時可以用多久？35×52＝1820（美元）但這樣的問題不在這一章裡討論，這樣的問題情境和之前的表中所提到的情境度對照的是非常清楚地不同的。Vergnaud相當注重在孩子解決問題的方法的多樣化，一個重要的發現和普遍性是兩個測量空間內部的關係是比兩個測量空間之間的關係更容易操控，如：圖13.2的（b）的例子中，會用3個小孩是一個小孩所擁有的橘子數目的3倍的這樣的解題方式會比橘子的數目是孩子的數目的4倍的解題方式還要更有可能使用。這樣的行動理論觀點被引用敘述：「數學的關係是要考慮當學生在解題時使用的運算方式或運算的過程。」（Vergnaud，1988），他指出這個關鍵點在於解題過程中，對於他所謂的行動理論的結構性質還不清楚就使用了，他認為老師要將這些乘法結構說明清楚和一般化，讓學生都能直覺的掌握之後，才能達到他所謂的行動理論。SchwartzandKaput：有強度量的角色Schwartz他將焦點放在數和數所指示對象的連繫上，數字產生了：1.在這世界的量化觀點，不是用數的（抽象的量）就是用測量（連續量），這些都是外延量。2.透過算數的運作已經定義了許多的量。這些運算可是複雜的，如：相關係數的計算3.第三種量不同於前兩種，強度量最主要的特徵就是他用數字表示了兩個其他量的定值倍數關係，如：固定的速度、加速度、密度－－在物理中是相當重要的。下列就是基於外延量和強度量之間基本的區別所做的分類，我們將外延量用E來代表，強度量用I來代表：1.結構I×E＝E’，這樣的結構的問題是屬於Vergnaud的計量的同構問題，如每個小孩有4.2公升的果汁，那3個人共有多少公升4.2公升/小孩×3小孩＝12.6公升這一類型，根據Schwartz（1988）所說：「這是我們要求學生著手做的大部分主要的乘法和除法的問題」2.結構E×E’＝E”，這樣的問題是屬於Vergnaud的計量積的問題，有就是笛卡兒積的問題Kaput（1985）提出一個基本的原則：「學校基本的數學不應該和數學的數字應用視為分開的兩者，而更應該要從數學中的量開始，才會讓應用成為數學的一部份。」，因此我們所要注意的不只是問題中的數字，還要注意到數字所指示的對象。乘法和除法比加法和減法比較起來較為困難的原因是：因為加法和減法是單向的，而乘法和除法有因次的複雜性；一個強度量，如：哩/每小時就可以視為一個將一個指示為「哩」的量和一個指示為「小時」的量的轉換。而SchwartzandKaput和Vergnaud一樣也提出了文字題：一艘船的平均速度是每秒4.2公尺，那3.3秒可行駛多遠的距離？但他們認為可以用這三個相關的量之間的關係的圖形表徵來看：Nesher的語義分析Nesher分析了命題的結構，並將它分成三種情形：1.她稱為映射法則，相當於Vergnaud的計量同構以及Schwartz和Kaput的I×E＝E’2.她稱為笛卡兒乘法運算，包括了Vergnaud的計量的積以及Schwartz和Kaput的E×E＝E”3.而在倍數比較上，Vergnaud、Schwartz和Kaput都沒有將它在去細分，Nesher舉出一個例子：Dan有5顆彈珠，Ruth的彈珠數量是Dan的4倍，那Ruth有幾顆彈珠？Nesher更進一步的認為，比較的物件不需要都一樣，我們可以用Ruth的郵票數量和Dan的彈珠數量做比較，雖然這樣的比較不甚自然，這樣的分類可以被視為一種比例問題的類型。她要求一群10到12歲的以色列的孩子：（a）寫下一個乘法的文字題內容是有關於3×4的（b）寫下你們如何向另一個小朋友解釋如何區分乘法和加法的文字題她發現文字題的類型大都是以倍數比較寫成的，映射的文字題卻很少，而在英文語系的國家中，這樣的乘法倍數文字題卻很少發現（Belletal，1984；Kaput，1985；Mangan，1986），因此這裡可以導出一些含義：1.他們指出就育在形成兒童乘法概念的重要性2.他們提出文化間的差異的問題並不能被排除在研究之外3.兒童的想法和語言是很有關係的普遍性問題，根據皮亞傑學派的觀點，只有語言是無法產生完整的了解，除非在這之前已經得知語言邏輯結構了。顯然地，讓學生面對情緒去形成概念的最普遍方法是透過文字題。這些能以論點