计算方法偏微分方程数值解法

对象双曲型方程:0xuatuLu(5.1)x),x()0,x(u给定初始条件建立差分格式将xt平面分割成矩形网格,2,1,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数)j,x~(u2hh)j,k(u)j,1k(uxu)t~,k(u2)j,k(u)1j,k(utuxj,ktj,k)j,x~(u6hh2)j,1k(u)j,1k(uxu)t~,k(u62)1j,k(u)1j,k(utux2j,kt2j,k方程(5.1)式变为称为误差项其中)h()j,x~(u2ah)t~,k(u2),h(R0),h(Rh)j,k(u)j,1k(ua)j,k(u)1j,k(uxt110huuauuj,kj,1kj,k1j,k＋＋(5.2)略去误差项，得到差分方程加上初始条件，构成差分格式k0,kj,kj,1kj,k1j,ku)uu(aruu＋＋差分格式的收敛性和稳定性差分格式的依赖区域库朗条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式的依赖区域应包含微分方程的依赖区域稳定性对象抛物型方程:Tt0,0b0xubtuLu22(5.3))x(g)t,1(u),x(g)t,0(u1x0),x()0,x(u2x),x()0,x(u121边界条件）初边值混合问题（）初值问题（定解条件有两类建立差分格式将xt平面分割成矩形网格,2,1,0j,jttt,2,1,0k,khxx0jk用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数)j,x~(u12hh)j,1k(u)j,k(u2)j,1k(uxu)t~,k(u2)j,k(u)1j,k(utux)4(22j,k22tj,k方程(5.3)式变为称为误差项其中)h()j,x~(u12bh)t~,k(u2),h(R0),h(Rh)j,1k(u)j,k(u2)j,1k(ub)j,k(u)1j,k(u2)4(x2t112)uu2u(bsuuj,1kj,kj,1kj,k1j,k＋＋(5.4)略去误差项，并令s＝τ/h2得到差分方程边界条件差分化（第二、三类边界条件）)t,x~(u2hh)t,x(u)t,x(uxu)t,x~(u2hh)t,0(u)t,h(uxux1NNt,1xt,0常用的差分格式显式格式,2,1,0j),j(gu),j(gu1N,,2,1k)kh(u,2,1,0j,1N,,2,1k)uu2u(bsuu2j,N1j,00,kj,1kj,kj,1kj,k1j,k＋＋隐式格式,2,1,0j),j(gu),j(gu1N,,2,1k)kh(u,2,1,0j,1N,,2,1k)uu2u(bsuu2j,N1j,00,kj,1kj,kj,1k1j,kj,k＋Richardson格式,2,1,0j),j(gu),j(gu1N,,2,1k)kh(u,2,1,0j,1N,,2,1k)uu2u(bs2uu2j,N1j,00,kj,1kj,kj,1k1j,k1j,k＋菱形格式,,,),(),(,,,)(,,,,,,,)(,,,,,,,,,21012121012122100111111jjgujguNkkhujNkuuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjk＋六点格式,,,),(),(,,,)(,,,,,,,)()(,,,,,,,,,,,2101212101212222210011111111jjgujguNkkhujNkuuubsuuubsuujNjkjkjkjkjkjkjkjkjk＋＋对象椭圆型方程:)y,x(fyuxuuPoisson0yuxuuLaplace22222222方程方程(5.5)给定的边界条件题，即在边界上满足主要定解条件是边值问)y,x()y,x(u)y,x()y,x(fyuxuu2222建立差分格式将xy平面分割成矩形网格,2,1,0j,jyy,2,1,0k,khxxjk用(k,j)表示网格节点(xk,yj)，网格节点上的函数值为u(k,j)用差商表示导数)y~,k(u12h)1j,k(u)j,k(u2)1j,k(uyu)j,x~(u12hh)j,1k(u)j,k(u2)j,1k(uxux)4(22j,k22x)4(22j,k22方程(5.5)式变为称为误差项其中)h()j,x~(u12bh)y~,k(u12b),h(Rf),h(R)1j,k(u)j,k(u2)1j,k(uh)j,1k(u)j,k(u2)j,1k(u22)4(x2)4(y21j,k122j,h1j,kj,k1j,k2j,1kj,kj,1k2f)uu2u(s1)uu2u(h1＋(5.6)略去误差项，得到差分方程边界条件处理直接转移线性插值