第2章 逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为0和1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。2.2逻辑代数中的三种基本运算一、三种基本逻辑关系和运算“与”逻辑（“与”运算）三种基本逻辑关系和运算“或”逻辑（“或”运算）“非”逻辑（“非”运算）逻辑表达式F=AB=AB与逻辑真值表与逻辑关系表（功能表）开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示逻辑符号（国家）ABF逻辑符号（国际）FAB真值表特点：全“1”得“1”,有“0”得“0”一、三种基本逻辑关系和运算１、三种基本逻辑关系（1）“与”逻辑2.2逻辑代数中的三种基本运算只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。逻辑变量的全部取值及运算后的结果列成表2.2逻辑代数中的三种基本运算一、三种基本逻辑关系和运算１、三种基本逻辑关系（2）“或”逻辑逻辑表达式F=A+B或逻辑真值表ABF≥1逻辑符号（国家）ABF101101001110N个输入：F=A+B+...+N或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示全“0”得“0”,有“1”得“1”决定某一事件的一个或一个以上的条件具备，这一事件就发生。ABF逻辑符号（国际）2.2逻辑代数中的三种基本运算一、三种基本逻辑关系和运算１、三种基本逻辑关系（3）“非”逻辑AEFR非逻辑真值表AF0110当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。逻辑表达式F=A'逻辑符号（国家）AF1AF逻辑符号（国际）2.2逻辑代数中的三种基本运算一、三种基本逻辑关系和运算２、三种基本的逻辑运算0•0=0•1=1•0=01•1=10+0=00+1=1+0=1+1=11'=00'=12.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算“与非”逻辑“或非”逻辑几种常见的复合逻辑关系“与或非”逻辑“异或”逻辑“同或”逻辑“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。逻辑表达式F=(ABC)'2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算１、“与非”逻辑条件A、B、C都具备，则Y不发生，即A、B、C同时为1，则输出Y为0。与非逻辑真值表ABCF00001111001100110101010111111110逻辑符号（国家）F&BCA真值表特点：全“1”得“０”有“0”得“１”F逻辑符号（国际）BCA逻辑表达式F=(A+B+C)'2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算2、“或非”逻辑条件A、B、C任一具备，则Y不发生，即A、B、C只要有一个为1，则输出Y为0。或非逻辑真值表逻辑符号（国家）F≥1BCA真值表特点：全“０”得“１”有“１”得“０”ABCF00001111001100110101010110000000逻辑符号（国际）FBCA逻辑表达式F=(AB+CD)'2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算3、“与或非”逻辑与或非逻辑真值表真值表特点：AB全“1”或CD全“1”得“0”，其余得“1”条件A、B同时或C、Ｄ同时具备，则Y不发生。ABCDF00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011110111011100000逻辑符号（国际）ABCＤFA&≥1BCFＤ逻辑符号（国家）逻辑表达式F=AB=A'B+AB'2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算4、“异或”逻辑异或逻辑真值表真值表特点：A、B同得“０”A、B异得“１”A、B有一个具备，另一个不具备，则Y发生。ABF101101001100“”异或逻辑运算符ABF=1逻辑符号（国家）ABF逻辑符号（国际）(1)A⊕0=A(3)A⊕A=0(2)A⊕1=A'(4)A⊕A'=1(5)A⊕B=C;A⊕C=B;B⊕C=A公式:2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算4、“异或”逻辑逻辑表达式F=A⊙B=(AB)'=A'B'+AB2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算5、“同或”逻辑同或逻辑真值表真值表特点：A、B同得“1”A、B异得“0”A、B有两个都具备，或两个都不具备，则Y发生.ABF101101000011“⊙”同或逻辑运算符ABF=逻辑符号（国家）ABF逻辑符号（国际）(2)A⊙1=A(3)A⊙A=1(1)A⊙0=A'(4)A⊙A'=0(5)A⊙B=C;A⊙B=(AB)'(1)互为反函数(2)互为对偶式A⊙C=B;B⊙C=AA⊙B与AB互为对偶式公式：同或与异或运算的关系：2.2逻辑代数中的三种基本运算二、几种常见的复合逻辑运算5、“同或”逻辑2.2完2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式2.3.2若干常用公式逻辑关系将逻辑变量A、B、C、...连接起来，2.3逻辑代数的基本公式和常用公式1、逻辑代数：),,,(CBAfY与普通代数不同的是，用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种所得的表达式称为逻辑代数。记为注意：没有数量的含义。在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，有非运算符的叫做反变量。在逻辑代数中，等式右边的字母A、B、C…等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母右侧没有非运算符的叫做原变量，2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2、逻辑函数相等的概念：),,,(),,,(21CBAgYCBAfY它们的输入变量都是A、B、C、…，看看它们的真值表是否相同即可。设有两个逻辑函数则称Y1和Y2是相等，如果对应于变量A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，记为Y1=Y2。利用真值表例：用真值表证明反演律AB(AB)'A'+B'A'·B'(A+B)'000110111110111010001000(AB)'=A'+B'(A+B)'=A'B'证明等式(AB)'=A'+B'(A+B)'=A'B'2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式1、0、1律A·0=0与门有“0”得“0”，即与“0”是“0”；A+1=1或门有“1”得“1”，即或“1”是“1”。例：分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。0A0A112.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式2、自等律“与”1、“或”0是自身。例：A·1=AA+0=AAA1A0A2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式3、重叠律—同一变量的运算规律A·A=AA+A=A显然0·0=0有“0”得“0”；1·1=1全“1”得“1”；0+0=0全“0”得“0”；1+1=1有“1”得“1”；故自身“或”、“与”是自身。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式4、互补律—变量与它的反变量之间的运算规律A·=0与补是“0”A∵A不是“0”就是“1”∴0·1=00+1=1A+=1或补是“1”A2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式5、交换律变量前后交换，等式不变。A·B=B·AA+B=B+A利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A：ABA·BB·A00011011000100016、结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C同级运算，变量自由结合，等式不变。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式7、分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+(B·C)=(A+B)·(A+C)与数学运算不同，不管是先“·”后“＋”还是先“＋”后“·”都满足分配律。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式例：用真值表证明A+B·C=(A+B)·(A+C)。ABCB·CA+B·CA+BA+C(A+B)·(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。证：8、反演律(狄·摩根De·Morgen定律)BA)BA(BA)BA(可用真值表证明。用在逻辑函数的化简和变换中。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式9、双重否定律（也称非非律、还原律）一个变量经过两次求反运算之后还原为其本身。A)A(否定的否定是肯定。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式10、吸收律A+AB=A证：A+AB=A·(1+B)=A在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。A·(A+B)=A证：A·(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A变量A和包含A的和相乘时，结果等于A，即可以将和消掉。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式证：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC重叠律AA=A=A(1+B+C)+BC分配律A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1律A+1=1例：用基本公式证明A+(B·C)=(A+B)·(A+C)。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式BABAA1、消因律BA)BA)(AA(BAA证：BAB)AA(ABAABABAA或两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。AB)BA(A推论：ABABA2、合并律证：A)BB(ABABA两个乘积项相加时，若它们分别包括B和B'，而其他因子相同，则两项定能合并，且可将B和B'两个因子消去。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式推论：A)BA)(BA(CABACBCABA3、包含律证：CBCABA)AA(CBCABACBACBACABA)B1(CA)C1(BACABA与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子组成第三个乘积项，则第三项是多余的。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式CABADCBADCBACABA)AA(DCBCABADCBCABA证明：推论（1）：CABADCBCABA2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.2若干常用公式CABACBCABA3、包含律推论（2）：)CA)(BA()CB)(CA)(BA(BA)BA(A4、A)BA(A证：BABAAA)BA(A)BA(AABAABAAA)BA(A)BA(A当A与一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时