第2章 随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念§2.1基本概念§2.2有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理§2.3随机过程的数字特征§2.1基本概念Ex.1对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得一、实际背景在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.,}),({btatX研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?随机过程的谱分析问题Ex.2从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0tT}中,研究是否存在某种随机信号S(t)?过程检测Ex.3监听器上收到某人的话音记录{Z(t),αtβ}试问他是否确实是追踪对象？过程识别二、随机过程定义为(ΩF,P)上的一个随机过程.},ω,{TttX,TtRT定义设(Ω,F,P)是概率空间,,若对每个ω,tX是概率空间(ΩF,P)上的随机变量,则称这族随机变量注1)称T是参数集(或参数空间)当T=(1,2,…，n),),,,(},ω,{21nXXXTttX随机向量当T=(1,2,…,n,…),),,,(},ω,{21XXTttX随机时间序列随机过程是n维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X(t),的集合.Tt用E表示随机过程的值域,称E为过程的状态空间.TtXXtT,Ex.4设(Ω,F,P)是对应于抛均匀硬币的概率空间:，反，正2121ωω,ω,ωΩ,21ωω21PP.Ω,,ω,ωF21做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量)0,1,2,(.ωω1,;ωω0,ω,21ttX则是一随机过程.,1,2,:ω,ttX其参数集T={0,1,2,…},状态空间E={0,1}.随机过程的理解Ωω,:ω,ΩTttT为集合T与Ω的积集.称随机过程可看成定义在积集上的二元函数ω,tXΩT1)当固定是一个随机变量；,Tt),(ωtXXt2)当固定,作为的函数，是一个定义在T上的普通函数.ΩωTt)ω,(tTTΩX(t1,ω)X(t2,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1t2tn定义对每一固定，称是随机过程的一个样本函数.ΩωωtX}),,({TttX也称轨道,路径,现实.1、分布函数定义对任意,二维随机变量(X(s),X(t))联合分布函数Tts,TttXXT),(,Tt定义1随机过程，对随机变量X(t)的分布函数,称为过程XT的一维分布函数.二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理;(),,FtxPXtxxR称为XT的二维分布函数族.,,,,21Ttttn定义2过程对任给的}),({TttX)(,,)(,)(21ntXtXtX随机向量的联合分布函数称为过程的n维分布函数.记),,,;,,,(2121nnxxxtttF,;,(),()FstxyPXsxXty1122{(),(),,()}nnPXtxXtxXtx}0,,1,2,,,:,,,;,,,{ˆ2121nniRxTtxxxtttFFiiinn称F为XT的有限维分布函数族.定义3过程的n维特征函数定义为}),({TttXn2121θ,,θ,;,,,φnttt}{)](θ)(θ[11nntXtXieE特征函数和分布函数是相互唯一确定.}1,,,,:)θ,,θ,θ;,,,(φ{2121n21nTttttttnn称为XT的有限维特征函数族.2.随机过程存在定理随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质（1）对称性对1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn,均有nnjjjjxxxtttFxxttFnn,,,;,,,,,;,,212111对任意固定的自然数mn,均有mmxxxtttF,,,;,,,2121,,,,;,,,,,2121mnmxxxttttFnmnxxxxxtttFnm,,,;,,,lim121,,1（2）相容性注联合分布函数能完全确定边缘分布函数.因事件乘积满足交换律.注类似地,随机过程的有限维特征函数满足:1)对1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn有nnjjjjtttttnnθ,,θ,θ;,,,φθ,,θ;,,φ2121112)对任意固定的自然数mn,均有mmtttθ,,θ,θ;,,,φ2121,0,0,θ,,θ,θ;,,,,,φ2121mnmtttt3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫)如果分布函数族}1,,,,,,,,;,,,{212121nTtttxxxtttFnnn满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程TttXXT),(,其有限维分布函数族恰为}0,,1,2,,,:,,,;,,,{2121nniRxTtxxxtttFFiiinnnnxxxtttF,,,;,,,2121即有1122{(),(),,()}nnPXtxXtxXtx在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律.1、均值函数、方差函数及相关函数定义给定随机过程,称TttXXT),(TtxtxdFtXEtm,,])([ˆ为过程XT的均值函数.三、随机过程的数字特征定义给定随机过程,称TttXXT),(2)(ˆtmtXEtXDtD为过程XT的方差函数.称为过程XT的均方差函数.tDtσ需要描述不同时刻过程状态的关联关系.定义给定随机过程,称为过程XT的协方差函数.有TttXXT),(,()()stEXtXsmsmt2,DtttEXtmt,(),()()()stCovXsXtEXsmsXtmt定义给定随机过程,称TttXXT),(为过程XT的自相关函数.有特别当时0tmXT是零均值过程stRst(,)(,)称为过程XT的自相关系数.,σσ(,)ststst,(,)stRstmsmt(,)[()()]RstEXsXt定义给定两个随机过程称为和的互协方差函数。称为和的互相关函数。(,)[(()())(()())]XYXYstEXsmsYtmt(,)[()()]XYRstEXsYt(),TYYttT(),TYYttT(),TXXttT(),TYYttT(),TXXttT(),TXXttTEx.1设随机过程)cos()(tAtX其中β是正常数,随机变量A与Θ相互独立,A～N(0,1),Θ～U(0,2π).试求过程的均值函数和相关函数.解)]cos([))(()(tAEtXEtmX;0)][cos()(tEAE))]XRstEXsXtEAts2(,)[()()][cos(cos()]cos()cos([)(2stEAE2π0dθ)θ(cos)θ(cos2π1st2π0θ)θ2)((cos)(cos[4π1dstst).(cos21st随机变量函数的数学期望公式四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类1)T,E均为可列集;2)T是可列集,E不可列;3)T不可列,E为可列集;4)T,E均不可列.TttXXT),(当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.当E为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.2.按概率结构进行分类1)二阶矩过程若过程对每一个,的二阶矩都存在.TttTTt),(Tt)(tT2)平稳过程①宽平稳过程（或协方差平稳过程）若,,(())tTDXt存在且(()),cov(,)()ttEXtmXXR仅依赖，(),XttT称为宽平稳过程。②严平稳过程有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。若121212,,,0,(,(,nnntttthththtttThXXXXXX及,,)与,,)LLL对于宽平稳过程有：0sttsts,,tt0()VarXt011()0nnijijijaatt（1）（2）（3）（4）（5）定义：设为一平稳过程（或平稳序列），若{(),}Xtt1lim2TTTXXtdtmT或1lim21NNkNXXkmN则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即21lim[]02TTTEXtdtmT③平稳过程的遍历性若1()lim()()2()TTTXtmXtmdtT或1()lim()()21()NNkNXkmXkmN则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。定理（均值遍历性定理）（1）设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳序列，其协方差函数为，则X有遍历性的充要条件是()t101lim()0NNttN（2）设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是201lim(1)()02TTdTT给出连续型的证明：222221lim[]21lim()41lim[()()]41lim()4TTTTTTTTTTTTTTTTEXtdtmTEXtmdtTEXtmXsmdtdsTtsdtdsT做变换tsvts则Jacobi行列式的值为1111112J:22DTvT积分区域变为222222(2)22222020111lim()()4421lim()81lim()(2)41lim()(2)21lim()(1)2TTTTTDTTTTTTTTTTTTtsdtdsddvTTddvTTdTTdTdTT所以有推论1：若()tdt则均值遍历性定理成立。证明：因为，当时，有1()()2T02T220020011()(1)()(1)2211()()0TTTddTTTTddTT推论2：对于平稳序列而言，若()0()tt则均值遍历性定理成立。证：给出离散型情形，由Stoltz定理101lim()lim(1)0NNNNN10,()NNNxNy11limlimNNNNNNNNyyyxxx令定理（协方差函数遍历性定理）设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是2211101lim(1)(()(0))02TTBdTT其中111()[()()()()]BEXtXtXtXt例设，则的均值有遍历性。证明其均值为()cos(),~(0,2),0XtatU(),XttR201[()]cos()02EXtatd其协方差函数为22202220[()()][cos(())cos()]cos(())cos()2{cos((2)2)cos()}cos()42EXtXtEattattdaatd