5复变(原函数与不定积分2柯西积分公式3解析函数的高阶导数)

第五讲原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数1.原函数与不定积分的概念2.积分计算公式§3.4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分cfdz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在B内变动,cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作zzdfzF0)1()()(定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且)()('zfzF定义若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，即,称(z)为f(z)在B内的原函数.)()('zfzzzdfzF0)()(上面定理表明是f(z)的一个原函数。设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，)(,)()(0)()()(')(')]'()([为任意常数cczHzGzfzfzHzGzHzG这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章§2例3)czFdzzf)()(2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强例1计算下列积分：;3,3,0Re,31)12iizzCdzzC终点为起点为为半圆周：其中解1)32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC故上解析，在32319312222222ideideiedzziiiC：解.,1arg1)2的任意曲线终点为起点为内：为单连通区域其中zzDCdzzC).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC故的一个原函数，是又内解析在解2)例3计算下列积分：32|332izdzziiii11111|11nnnnnzndzziiizzzzdzziicossin|cossinsin00小结求积分的方法knkkncxfdzzf1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()]([)()3(0)(,,,)()4(cdzzfBCBzf则单连通解析若)()(,)()(,,)()5('1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz则单连通内解析在若利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内容简介§3.5Cauchy积分公式00000,(),,,()().0CDfzDzDCDzfzfzzdzzzzz一般设单连通在内解析是内围绕的一条闭曲线则在不解析100)()(CCdzzzzfdzzzzf的内部曲线在内部的任意包含由复合闭路定理得CCz10,分析DCz0C1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC)}0({01可充分小zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf时当上的函数值在的连续性.,这就是下面的定理这个猜想是对的DCz0C1∴猜想积分特别取定理(Cauchy积分公式)内任意一点为它的内部完全含于曲线内任意一条正向简单闭是内处处解析在设CzDDCDzf0)3,,)2,)()1Cdzzzzfizf00)(21)().(2)(lim:,)()(.}{000000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK只须证明无关的半径与的内部设证明)(2)(,0,0:000zifdzzzzfRzzK即要证kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)(2)()(00KKdsRdszzzfzf)()(0,0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzzkdzzzzfzf00)()()(2)(lim000zifdzzzzfKRCdzzzzfizf00)(21)(积分公式仍成立.上连续及在内解析,所围区域在(1)若定理条件改为CauchyBBCBCzf,)(.,f(z).C积分公式(2)定了内部任一处的值也就确则它在区域确定在区域边界上的值一经即若值来表示的值可以用它在边界的内部任一点表明函数在CauchyCidzzzzfizfzzC000)(21)(Re:)3(则若一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.200Re)Re(21dRiezfiiii200)Re(21dzfi443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求：0sinsin21)104zzzdzzziiiidzzzdzdzzzzfzzz62212321)3211()221)(444及例1解.1122线在内的任意简单正向曲为包含求zCdzzzzC例221222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解CC1C21xyo21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC4212211210积分公式由).1(',173)(,3222ifdzzfyxCC求表圆周设例3解)613(2]7)1(6[2)1('3)76(230)('3)173(230173)(173222iiiifzzizzfzzzizdzzfzzC故又在全平面上处处解析，内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。§6解析函数的高阶导数求导得两边在积分号下对对积分公式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfCCdzzzzfizf200)()(21)('Cdzzzzfizf300)()(2!2)(),2,1()()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。.,)(),2,1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部任意正向简单闭曲线的内围绕的解析区域为在其中阶导数为它的的导数仍为解析函数解析函数定理证明用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfDznz)()(lim)('.100000的情形先证Cdzzzzzfizzf00)(21)(Cdzzzzfizf00)(21)(由柯西积分公式CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf))(()(21)()(21)()(000000令为ICCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020))(()(21)()(21CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21))(()(21则有取则上连续在上解析，在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCzdzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000）（*)()(21)()(lim)('200000Czdzzzzfizzfzzfzf从而有显然，的长度）—,0lim(03ICLdMLzIz.2)()(的情形的方法可证式及推导再利用nCzdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)(')('lim)(''依次类推，用数学归纳法可得Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)(.,)()(无穷次可导内解析即在具有各阶导数内在内解析平面上在定理表明DDzfDzzf一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn可计算积分用途CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11:求下列积分值例1iizidzzzzzC12)(!42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5）（在全平面处处解析解的内部不相交且在取处不解析在CCCizCizCizizez21221122,::.)()212222222(1)(1)(1)zzzCCCeeedzdzdzzzz122222()()()()zzCCeezizidzdzziziizzizzizeiizei22)()!12(2)()!12(2)41sin(2)1sin1(cos)1(2))(1(22iiieeiiiCnzdzzerzC,1:,)3求下列积分值423)1(cos,)4zdzzzz求下列积分值2(12)i)!1(2,1;2,1ninin原式原式