计量经济学-第9章 异方差性

1第9章异方差计量经济学2本章讨论四个问题：●异方差的实质和产生的原因●异方差产生的后果●异方差的检测方法●异方差的补救3一、异方差性的实质同方差的含义同方差性：对所有的有：（5.1）(1,2,...,)iin2Var()=iuσ4图形表示XY概率密度5（一）模型中省略了某些重要的解释变量假设正确的计量模型是：假如略去，而采用当被略去的与有呈同方向或反方向变化的趋势时,随的有规律变化会体现在（5.5）式的中。3iX12233iiiiYXXu3iX*122iiiYXu3iX2iX*iu（5.5）*iu2iX二、产生异方差的原因6（（二）数据的测量误差样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，也可能随着观测技术的提高而逐步减小。（三）截面数据中总体各单位的差异通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重的异方差。3iX*iu7第二节异方差性的后果本节基本内容：●对参数估计统计特性的影响●对参数显著性检验的影响8一、对参数估计统计特性的影响（一）参数估计的无偏性仍然成立参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值假定（即）。所以异方差的存在对无偏性的成立没有影响。（二）参数估计的方差不再是最小的同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二乘估计的方差最小。E()0iu2020/2/21、参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不是最小方差的估计量1、线性性??22?iiixyx=22iiixux2、无偏性E(2?)=E(??22iiixux)=??22)(iiixuEx=23、方差Var(2)=Var(??22iiixux)=222)()(??iiixuVarx=2222)(??iiixxs在同方差时，Var(2?)=?22ixs一元线性回归模型为例该形式具有最小方差该形式不具有最小方差10二、对参数显著性检验的影响由于异方差的影响，使得无法正确估计参数的标准误差，导致参数估计的t统计量的值不能正确确定，所以，如果仍用t统计量进行参数的显著性检验将失去意义。11第三节异方差性的检验常用检验方法:●图示检验法●Goldfeld-Quanadt检验●White检验12设一元线性回归模型为：运用OLS法估计,得样本回归模型为：由上两式得残差：绘制出对的散点图◆如果不随而变化，则表明不存在异方差；◆如果随而变化，则表明存在异方差。（一）残差图形分析12iiiYββXu12ˆˆˆiiY=β+βXˆ-iiieYY2ieiXiuiuiXiX2020/2/2uˆx2020/2/2uˆx2020/2/2uˆx2020/2/2uˆx17二、Goldfeld-Quanadt检验作用：检验递增性(或递减性)异方差。基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。（一）检验的前提条件1、要求检验使用的为大样本容量。2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。18（二）检验的具体做法1.排序将解释变量的取值按从小到大排序。2.数据分组将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记为，再将剩余的分为两个部分，每部分观察值的个数为。3.提出假设222220112H:,=1,2,...,;H:inσ=σinσσ...σ(-)/2ncc194.构造F统计量分别对上述两个部分的观察值求回归模型，由此得到的两个部分的残差平方为和。为前一部分样本回归产生的残差平方和，为后一部分样本回归产生的残差平方和。它们的自由度均为，为参数的个数。22ie[(-)/2]-nck21ie22ie21iek20在原假设成立的条件下，因和自由度均为，分布，可导出：（5.13）[(-)/2]-nck2χ22222211[]2()22[]2ii*iin-ce/-ken-cn-cF==~F-k,-kn-cee/-k21ie22ie215.判断给定显著性水平，查F分布表得临界值计算统计量。如果则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的随机误差存在异方差。--(-,-)22()ncnckkF*F*--(-,-)22()ncnckkFF22●要求大样本●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型●检验结果与选择数据删除的个数的大小有关●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局限。c检验的特点2020/2/23、帕克(Park)检验帕克提出2is是解释变量Xi的某个函数从而把图解法公式化，他建议的函数形式为：ln2is=ln2s+lniX+iv由于2is通常是未知的帕克建议用替代，并做如下回归：ln2?iu=ln2s+lniX+iv=+lniX+iv如果在统计上显著的，就表明数据中有异方差。残差平方后取对数关于解释变量的对数值用LS进行模型估计，若解释变量系数显著，存在异方差24三、White检验（一）基本思想：不需要关于异方差的任何先验信息，只需要在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对常数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等所构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量来判断异方差性。25(二)检验的特点要求变量的取值为大样本不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的情况下，还能判断出是哪一个变量引起的异方差。26（三）检验的基本步骤：以一个二元线性回归模型为例，设模型为：并且，设异方差与的一般关系为其中为随机误差项。12233ttttY=β+βX+βX+u23,ttXX222122334253623ttttttttσ=α+αX+αX+αX+αX+αXX+vtv271.求回归估计式并计算用OLS估计式（5.14），计算残差，并求残差的平方。2.求辅助函数用残差平方作为异方差的估计，并建立的辅助回归，即（5.15）222122334253623ˆˆˆˆˆˆˆttttttte=α+αX+αX+αX+αX+αXXˆ-ttteYY2te2tσ22232323ttttttX,X,X,X,XX2te2te283.计算利用求回归估计式（5.15）得到辅助回归函数的可决系数，为样本容量。4.提出假设0261H0,H2,,3,...,6j:=...==:j（=）不全为零2nRn295.检验在零假设成立下，有渐进服从自由度为5的分布。给定显著性水平,查分布表得临界值，如果,则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差。2nR2χ2(5)χ2χ22(5)nRχ30第四节异方差性的补救措施主要方法:●模型变换法●加权最小二乘法●模型的对数变换31以一元线性回归模型为例：经检验存在异方差，且其中是常数，是的某种函数。12iiiYXuiu22var()()iiiufXss2σ()ifXiX一、模型变换法32变换模型时，用除以模型的两端得：记则有：()ifXiii12iiiiYXuβ=+β+f(X)f(X)f(X)f(X)***11;;;()()()()iiiiiiiiiiYXuYXvfXfXfXfX***12iiiYXv33随机误差项的方差为经变换的模型的随机误差项已是同方差，常见的设定形式及对应的情况函数形式201()iaaXiv2s2svar()iuivvar()iiX2iXsiiuX2iX22iXsiiuX2201()iaaXs01()iiuaaX21var()var()var()()()iiiiiuvufXfXsiiiuv=f(X)()ifXiv2s34二、加权最小二乘法以一元线性回归模型为例：经检验存在异方差，且：其中是常数，是的某种函数。12iiiYXu22var()()iiiufXss2s()ifXiXiu35（一）基本思路区别对待不同的。对较小的,给予较大的权数，对较大的给予较小的权数，从而使更好地反映对残差平方和的影响。2iσ2ie2ie2ie2iσ36（二）具体做法1.选取权数并求出加权的残差平方和通常取权数，当越小时，越大。当越大时，越小。将权数与残差平方相乘以后再求和，得到加权的残差平方和：\iw21(1,2,...,)iiwinsiw2**212()iiiiiwewYX2isiw2is372.求使满足的根据最小二乘原理，若使得加权残差平方和最小，则：其中：iw2miniiwe*i**1222ˆˆ()()ˆ()****iii**iiβ=Y-βXwX-XY-Yβ=wX-Xiiii**iiwXwYX=,Y=ww38三、模型的对数变换在经济意义成立的情况下，如果对模型：作对数变换，其变量和分别用和代替，即：对数变换后的模型通常可以降低异方差性的影响：◆运用对数变换能使测定变量值的尺度缩小。◆经过对数变换后的线性模型，其残差表示相对误差往往比绝对误差有较小的差异。注意：对变量取对数虽然能够减少异方差对模型的影响，但应注意取对数后变量的经济意义。lniX12iiiY=b+bX+uiYiXlniY12lnlniiiY=b+bX+u四、重新定义变量3940