“统筹问题”典型题选讲

“统筹问题”典型题选讲统筹问题在日常生活中会经常遇到，是一个研究怎样节省时间、提高效率的问题。随着公务员考试数学运算试题越来越接近生活，注重实际，这类题目出现的几率也越来越大。所以我们有重点研究统筹问题的必要。华图教育集团公务员考试辅导专家李委明老师特别选择了一些统筹问题的典型题进行讲解，希望能对各位考生备战国考有所帮助。一、时间安排问题【例1】（山西2009-105）妈妈给客人沏茶，洗开水壶需要1分钟，烧水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，依照最合理的安排，要几分钟就能沏好茶？A16分钟B17分钟C18分钟D19分钟［答案］A［解析］时间统筹：烧水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。总共需要1+15＝16（分钟）洗茶壶（1分钟）洗茶杯（1分钟）拿茶叶（2分钟）烧水（15分钟）洗开水壶（1分钟）完成【例2】（河北选调2009-59）星期天，小明的妈妈要做下列事情：擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，拖地要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟，干完所有这些事情至少需要多少分？A.110B.95C.70D.60［答案］C［解析］时间统筹：打开全自动洗衣机洗衣服的同时完成擦玻璃、收拾厨房、拖地的工作。总共需要10+20+15+15+10＝70（分钟）擦玻璃20分钟洗脏衣服的领子、袖口10分钟打开全自动洗衣机洗衣服40分钟收拾厨房15分钟拖地15分钟晾衣服10分钟完成【例3】（山西2009-98）A、B、C、D四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A谈完要18分钟，B谈完要12分钟，C谈完要25分钟，D谈完要6分钟。如果使四人留住这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟？A.91分钟B.108分钟C.111分钟D.121分钟［答案］D［解析］时间统筹：尽量让谈话时间短的人先谈，以节省总谈话时间。那么谈话依次需要6、12、18、25分钟，第一个人D需要停留6分钟，第二个人B需要停留6+12＝18（分钟），第三个人A需要停留6+12+18＝36（分钟），第四个人C需要停留6+12+18+25＝61（分钟）。综上，四人停留在这个单位的时间总和最少为：6+18+36+61＝121（分钟）。二、拆数求积问题拆数求积问题核心法则将一个正整数（≥2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个3和少量2（1个2或者2个2）之和即可。【例4】（山西2009-104）将14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是多少？A72B96C144D162［答案］D［解析］利用“核心法则”可知：14＝3＋3＋3＋3＋2，最大乘积为3×3×3×3×2＝162。【例5】（河北选调2009-55）将19拆成若干个自然数的和，这些自然数的积最大为多少？A252B729C972D1563［答案］C［解析］利用“核心法则”可知：19＝3＋3＋3＋3＋3＋2＋2，最大乘积为3×3×3×3×3×2×2＝972。三、货物集中问题【例6】（国2006一类-48、国2006二类-37）在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要多少运费？（）A.4500元B.5000元C.5500元D.6000元［答案］B［解一］如果都运到一号仓库，需要运费（20×100+40×400）×0.5=9000元；如果都运到二号仓库，需要运费（10×100+40×300）×0.5=6500元；如果都运到三号仓库，需要运费（10×200+20×100+40×200）×0.5=6000元；如果都运到四号仓库，需要运费（10×300+20×200+40×100）×0.5=5500元；如果都运到五号仓库，需要运费（10×400+20×300）×0.5=5000元。“非闭合”货物集中问题像【例6】这种的统筹性问题，如果按照［解一］（枚举法）那样来做，必然是耗时耗力的，我们需要研究更好的方法来处理与解决。我们来分析这样题目的一个小小的片断，如下图，假设A与B是两个相邻的货物存放点，距离为L，左侧货物（包括A点上的货物）总重为G1，右侧货物（包括B点上的货物）总重为G2，假设将A点左侧的所有货物集中到A点需要的重量里程为M，将B点右侧的所有货物集中到B点需要的重量里程为N，则把所有货物集中到A、B两点的货物里程分别为：Y（A）＝M＋（N＋G2×L）；Y（B）＝（M＋G1×L）＋N；通过对两个式子的对比很容易发现，影响“存放在A点还是B点更好”的关键因素是G1与G2，而与其他因素无关。AB……………………总重量：G1总重量：G2L核心法则在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个“点”，每个点之间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向：判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧。特别提示1.本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中；2.本法则的应用，与各条路径的长短没有关系；3.实际操作中，我们应该从中间开始分析，这样可以更快得到答案。［解二］利用“核心法则”可知：本题四条“路”都具备“左边总重量轻于右边总重量”的条件，所以这些“路”上的流通方式都是从左到右，因此集中到五号仓库是最优选择。【例7】(安徽2008-15)某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分别相距1千米、3千米，三个仓库里面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果把所有的货物集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是90元，请问把货物放在哪个仓库最省钱？（）A.甲B.乙C.丙D.甲或乙5吨4吨2吨甲乙丙1千米3千米［答案］B［解析］利用“核心法则”可知：本题甲、乙之间的路满足“左边总重量轻于右边总重量”，应该往右流动；乙、丙之间的路满足“左边总重量重于右边总重量”，应该往左流动，因此选择乙仓库最省钱。【例8】如图，姚乡长召集甲、乙、丙、丁、戊、己六个村的干部参加会议，这六个村子每两个村子之间的间隔和每个村参加会议的人数如图所示。请问姚乡长应该在哪个村子召集会议可以使所有参加会议的人所走路程和最小？（）A.乙B.丙C.丁D.戊［答案］C［解析］利用“核心法则”可知：本题丙、丁之间的路满足“左边总重量轻于右边总重量”，应该往右流动；丁、戊之间的路满足“左边总重量重于右边总重量”，应该往左流动，因此选择丁村。【例9】某镇共有八块麦地，每块麦地的产量如图所示。如果单位重量的小麦单位距离运费是固定的，那么把麦场设在什么地方最省总运费？（）A.姚庄B.李庄C.江庄D.张庄［答案］C［解析］利用“核心法则”可知：本题B、D之间的路满足“上边总重量轻于下边总重量”，应该往D流动；G、D之间的路满足“左下总重量轻于右上总重量”，应该往D流动；D、A之间的路满足“右边总重量轻于左边总重要”，应该往D流动。因此选择D江庄，答案选择C。四、货物装卸问题【例10】（国2007-59）一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、4、10、6名装卸工，共计36名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要（）名装卸工才能保证各厂的装卸需求。A.26B.27C.28D.29［答案］A［解一］设三辆汽车分别为甲、乙、丙车；五个工厂分别为A、B、C、D、E厂，则最初状态甲、乙、丙三车上人数为0，五工厂分别有人7、9、4、10、6人。我们在五个工厂都减少1名装卸工时，五工厂共减少5人，而每辆车上的人数各增加1人，车上共增加3人，所以装卸工的总人数减少2人。当车上增加到4人，C厂剩余的人数为0，此时每辆车上的人数每增加1人，车上共增加3人，而五工厂共减少4人，所以装卸工的总人数仍减少。当车上增加到6人，C、E厂剩余的人数为0，此时每车上的人数每增加1人，车上共增加3人，而五工厂共减少3人，所以装卸工的总人数不变。当车上增加到7人，A、C、E厂剩余的人数为0，此时每辆车上的人数如果再每增加1人，车上共增加3人，而五工厂共减少2人，所以装卸工的总人数增加。所以当车上的人数为6人（或7人）的时候，装卸工的总人数最少。如果每个车上有6个人，A、B、C、D、E厂剩余人数分别为1、3、0、4、0，三辆车上共有18人，总共需装卸工26人。如果每个车上有7个人，A、B、C、D、E厂剩余人数分别为0、2、0、3、0，三辆车上共有21人，总共也需装卸工26人。货物装卸问题像【例10】这种统筹性问题，如果按照［解一］那样的分析来做，必然也是耗时耗力的，我们需要从中提炼最简便方法。794106ABCDE666甲乙丙我们把【例10】中［解一］的分析过程描述成上图所示。根据之前的分析我们知道，因为一共有3辆车，所以当只剩3个工厂里还有装卸工的时候，总装卸工人数达到了最低，此时的总人数包括三辆车上的人数以及剩余三个工厂留存的人数，即图中黑色的部分。将右边三个“6”平移过来，我们发现最终的结果即是这五个数中，最大的三个之和。核心法则如果有M辆车和N（N＞M）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M个工厂所需的装卸工人数之和。（若M≥N，则把各个点上需要的人加起来即答案）［解二］利用“核心法则”可知，答案直接得到是10＋9＋7＝26。【例11】某大型企业的8个车间分布在一条环形铁路旁（如图）。四列货车在铁道上转圈，货车到某一车间时，所需装卸工的人数已在图上标出，装卸工可以固定在车间，也可以随车流动。问：至少需要多少装卸工才能满足装卸要求？（）A.235B.237C.238D.239［答案］A［解析］利用“核心法则”可知，答案直接得到是71+67+52+45=235人。【例12】如图，某车场每天派出2辆汽车，经过A、B、C、D四个点，各点分别需要装卸工9人、5人、7人、8人。装卸工可以固定在车间，也可随车流动。问：至少需要派多少装卸工才能满足装卸要求？（）A.16B.17C.18D.19［答案］B［解析］利用“核心法则”可知，答案直接是9+8=17人。五、空瓶换酒问题【例1】（国2006二类-33）如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水多少瓶？（）A.3瓶B.4瓶C.5瓶D.6瓶［答案］C［解析］我们可以按照下述等价过程来思考这类问题：4瓶＝1瓶水Þ4瓶＝1瓶＋1水Þ3瓶＝1水Þ15瓶＝5水【例2】（上海2004-17）某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到多少瓶啤酒？（）A.13B.15C.16D.17［答案］B［解析］3瓶＝1瓶酒Þ3瓶＝1瓶＋1酒Þ2瓶＝1酒Þ10瓶＝5酒Þ10瓶酒＝10瓶＋10酒＝15酒【例3】某店啤酒可以用7个空瓶再换回2瓶啤酒，啤酒出售为3元一瓶，某人共有60元，请问他最多可以喝到多少瓶啤酒？（）A.20B.24C.28D.32［答案］C［解析］此人60元可购得20瓶啤酒。7瓶＝2瓶酒Þ7瓶＝2瓶＋2酒Þ5瓶＝2酒Þ20瓶＝8酒Þ20瓶酒＝20瓶＋20酒＝28酒。【例4】（陕西2008-15）某商店规定每4个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝多少瓶啤酒？（）A.30B.31C.32D.33［答案］C［解析］4瓶＝1瓶酒Þ4瓶＝1瓶＋1酒Þ3瓶＝1酒Þ24瓶＝8酒Þ24瓶酒＝24瓶＋24酒＝8酒+24酒＝32酒。【例5】(安徽2008-9)某旅游景点商场销售可乐，每买3瓶可凭空瓶获赠1瓶可口可乐，某旅游团购买19瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？（）A.19B.24C.27D.28［答案］D［解析］3瓶＝1瓶可乐Þ3瓶＝1瓶＋1可乐Þ2瓶＝1可乐Þ19瓶＝9.5可