第2章 离散傅里叶变换 part2

第2章离散傅里叶变换Part2离散傅里叶变换主要内容2.4有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.5离散傅里叶变换的性质2.4有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.4.1DFT的定义上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即nNnnxnx其他010)()(为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓，即表示成:)(~nx)(~nxnNnnxnx其他010)(~)(rrNnxnx)()(~这个关系可以用图2-8来表明。通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”，故x(n)是的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成)(~nx)(~nx)(~nxNnxNnxnx))(()mod()(~(2-26)图2－8有限长序列及其周期延拓用((n))N表示（nmodN），其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令mNnn10≤n1≤N-1,m为整数则n1为n对N的余数。例如，是周期为N=9的序列，则有：)(~nx)8())1(()1(~)4())22(()22(~)4())13(()13(~)8())8(()8(~9999xxxxxxxxxxxx利用前面的矩形序列RN(n)，式（2-24）可写成)()(~)(nRnxnxN(2-27)同理，频域的周期序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列的主值序列，即:)(~kX)(~kX)()(~)())(()(~kRkXkXkXkXNN(2-28)(2-29)我们再看表达DFS与IDFS的式(2-6)和式(2-7)：1010)(~1)](~[)(~)(~)](~[)(~NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:1010)(1)]([)()()]([)(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX0≤k≤N-10≤n≤N-1（2-30）（2-31）x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称式(2-30)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT),称式(2-31)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。例2-4已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得到：1001)()(NnNnkNWWnkXk=0,1,…,N-1δ(n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。图2-9序列δ(n)及其离散傅里叶变换例2-5已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列，求它的N点DFT。解由DFT的定义式（2-30）110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到k的取值区间，可得]11,0[,011,16)(kkkkX其他图2-10有限长序列及其DFT［例2-6］已知如下X(k):13)(kXk=01≤k≤9求其10点IDFT。解X(k)可以表示为X(k)=1+2δ(k)0≤k≤9写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT为常数：111()()()[()]1xnnXkDFTxn同样，一个常数的DFT是一个单位脉冲序列：x2(n)=1X2(k)=DFT［x2(n)］=Nδ(k)所以)(51)(nnx2.4.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换10)()(NnnznxzX比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W-kN时)]([)()(10nxDFTWnxzXNnnkNWzkN即kNWzzXkX)()(（2-32）表明是Z平面单位圆上幅角为的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值，如图2-11所示。此外，由于序列的傅里叶变换X(ejω)即是单位圆上的Z变换，根据式（2-32），DFT与序列傅里叶变换的关系为kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2（2-33）（2-34）式（2-33）说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N，这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果也不同。图2-11DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系例2-7有限长序列x(n)为01)(nx0≤n≤4其余n求其N=5点离散傅里叶变换X(k)。解序列x(n)如图2-12（a）所示。在确定DFT时，我们可以将x(n)看作是一个长度N≥5的任意有限长序列。首先我们以N=5为周期将x(n)延拓成周期序列，如图2-12（b），的DFS与x(n)的DFT相对应。因为在图2-12（b）0≤n≤N-1上为常数值，所以可以得出)(~nx011)(~)/2210)/2(NeeekXNkjkjNnnNkj（k=0,±N,±2N,…其他(2-35)也就是说，只有在k=0和k=N的整数倍处才有非零的DFS系数值。这些DFS系数如图2-12（c）所示。为了说明傅里叶级数与x(n)的频谱X(ejω)间的关系，在图2-12（c）中也画出了傅里叶变换的幅值|X（ejω)|。显然，就是X(ejω)在频率ωk=2πk/N处的样本序列。按照式（2-29），x(n)的DFT对应于取的一个周期而得到的有限长序列X(k)。这样，x(n)的5点DFT如图2-12（d）所示。)(~kx)(~kX)(~kX)(~kX0511)()(52215052kjkjnnkjeeenxkXk=0,1,2,3,4k=0k=0,1,2,3,4图2-12DFT（a）有限长序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=5的周期序列;（c）对应于的傅里叶级数和x(n)的傅里叶变换的幅度特性|X(ejω)|;（d）x(n)的DFTX(k))(~nx)(~kX图2-13DFT（a）有限长序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=10的周期序列x(n);（c）DFT的幅值~通过式（2-26）和式（2-27）联系起来的有限长序列x(n)和周期序列之间的差别似乎很小，因为利用这两个关系式可以直接从一个构造出另一个。然而在研究DFT的性质以及改变x(n)对X(k)的影响时，这种差别是很重要的。信号时域采样理论实现了信号时域的离散化，使我们能用数字技术在时域对信号进行处理。而离散傅里叶变换理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径，从而推进了信号的频谱分析技术向更深更广的领域发展。)(~nx2.5离散傅里叶变换的性质本节讨论DFT的一些性质，它们本质上和周期序列的DFS概念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT［·］表示N点DFT，且设:DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)2.5.1线性)()()]()([2121kbXkaXnbxnaxDFT式中，a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。(2-36)2.5.21.定义一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(n)（2-37）我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列;再将加以移位：Nnxnx))(()(~)(~nx)(~))((mnxmnxN（2-38）然后，再对移位的周期序列取主值区间（n=0到N-1）上的序列值，即x((n+m))NRN(n)。所以，一个有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列，这一过程可用图2-14（a）、（b）、（c）、（d）来表达。从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察0≤n≤N-1这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位，就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图2-14（e）、（f）、(g)所示，因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转;将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈，那么看到的就是周期序列。)(~mnx)(~nx图2-14圆周移位过程示意图2.时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即)())(()(nRmnxnyNN则圆周移位后的DFT为)()]())(([)]([)(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN证利用周期序列的移位性质加以证明。)(~)](~[]))(([kXWmnxDFSmnxDFSmkNN(2-39)再利用DFS和DFT关系)()()(~)]()(~[)]())(([kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN这表明，有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移，而对频谱的幅度没有影响。mkNjknNeW23.频域圆周移位定理对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：若)]([)(nxDFTkX则)()()]())(([2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。(2-40)2.5.3圆周卷积设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0≤n≤N-1），且有：)()]([)()]([2211kXnxDFTkXnxDFT若)()()(21kXkXkY则10121021)())(()()())(()()]([)(NmNNNmNNnRmnxmxnRmnxmxkYIDFTny(2-41)一般称式(2-41)所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积。下面先证明式(2-41)，再说明其计算方法。证这个卷积相当于周期序列和作周期卷积后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓，即)(~1nx