1.1.3导数的几何意义ppt

00f'xx就指在某一点处的瞬时变化率复习1、什么叫导数？2.如何表示在某一点x0处的导数？表示“平均变化率”ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ＝其中００xy平均变换率的几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。3.由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限，得导数回顾'000'0,,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,,,,,,.什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211yxo)(xfyP相交答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.切线Pl能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。过的切线定义不同。此处切线定义与以前学直线与圆锥曲线有惟一公共点时，直线叫做圆锥曲线的切线。圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00＝割线即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：切线0xf函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy导数的几何意义例1．求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率。解：过点(1，1)的切线斜率是f′(1)=200(1)(1)(1)1limlimxxfxfxxx0lim(2)2xx因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2.导数的几何意义的应用例2:2210[(1)1](11)|limxxxyx解：22(1)yx切线方程：20xy即：求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.导数的几何意义的应用202lim2xxxx例3．求双曲线y=过点(2，)的切线方程。1x21解：因为00011(2)(2)1122limlimlim2(2)4xxxfxfxxxx所以这条双曲线过点(2，)的切线斜率为－，2114由直线方程的点斜式，得切线方程为114yx例4．求抛物线y=x2过点(，6)的切线方程。52解：点(，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为5222000000()()()limlimxxfxxfxxxxxx20002()lim2xxxxxxk=00202256-xxxk又2300xx或求得∴k=6，或k=4.∴过点（，6）的切线方程为∴y-6=6(x-)，或y-6=4(x-).即所求切线方程为y=6x-9，或y=4x-6.252525例5．y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=xxfxxfx)()(lim00033000()limxxxxx22300033()()limxxxxxxx2220000lim[33()]3xxxxxx∴3x02=3，x0=±1.∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1).例题小结:求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标．求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy课堂练习：1．曲线y=x2在x=0处的（）A．切线斜率为1B．切线方程为y=2xC．没有切线D．切线方程为y=0D2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为（）A．4B．16C．8D．2C3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是（）A．在点x=x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D．点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率C4.求函数22yx在x=1处的切线方程。5．已知曲线y=x3上过点(2，8)的切线方程为12x－ay－16=0，则实数a的值为（）A．－1B．1C．－2D．2B6．若f′(x0)=－3，则＝（）A．－3B．－6C．－9D．－12hhxfhxfh)3()(lim000D7．设y=f(x)为可导函数，且满足条件,则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为（）A．2B．－1C．D．－212)1()1(lim0xxffx21Dxoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,,.1416.3,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象.,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。例3如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1).在此点处的切线的斜率曲线tf.,,,41.1时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图...,.,.'41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬417004080604020.......'tft药物浓度的瞬时变化率它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解：,.,tf1.导数的几何意义:f’(x0)表示在点x0处切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2.求某点处切线的方法:(1)先求斜率k=f’(x0)(2)再用点斜式得到切线方程注意：利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。