1.1复变函数20161128

作业要求:每周交一次，交给各班课代表,每次改大约1/4上课要求:按时上课(有事要请假)；课程要求:要求着重理解基本概念;要求掌握基本方法;课程性质:专业基础课程;先修课程:高等数学基本知识；期末总成绩=平时成绩*20%+期末考试成绩*80%；平时成绩包括平时作业，出勤等。2学习方法（一）要抓住重点，即应牢固掌握基本概念、基本定理和主要公式，重在理解。（二）要有良好的学习方法，可运用对比或比较的学习方法，以加深对各种定理和定律的理解。（三）注意各部分内容之间的联系，前后如何呼应。（四）通过习题可以加深对所学内容的理解，所以应按要求完成作业。3几点要求：3、认真、按时、独立完成作业2、上课不玩手机4、尽量多的做课后习题交作业地点：答疑时间：周四上午8:30-11：007J-C-107外答疑地点：7J-C-1021、不准迟到复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属于工程数学.所用教材：《应用复变函数与积分变换》王以忠等编中国矿业大学出版社共48学时单周4学时，双周2学时参考教材：《复变函数》（第四版）西安交通大学高等数学教研室编《积分变换》（第四版）东南大学数学系张元林编5复变函数黎曼曲面理论解析函数留数理论复积分几何函数理论积分变换傅里叶变换拉普拉斯变换z变换……内容级数理论6复变函数论起源于解二次方程或三次方程中出现了负数开平方的问题，为此“造”出了复数，起先人们对这类数并不理解，随着数学的发展，这类数的重要性逐渐显现出来。以复数为自变量的函数就是复变函数，与之相关的理论就是复变函数论。复变函数论的全面发展是在19世纪，就像微积分统治18世纪的数学一样，复变函数论统治了19世纪的数学，是最丰饶的数学分支，并称为这个世纪的数学享受。这门学科的先驱是欧拉，达朗贝尔，法国的拉普拉斯等。对这门学科的大力发展做了大量工作的是柯西、黎曼、德国的维尔斯托拉斯等。7复变函数论发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极为广泛的数学分支。是数学、通信、电子、自动化等专业重要的基础课程之一。应用积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．8第一章复变函数与极限§１复变函数§２初等函数§３复变函数的极限和连续性9预备知识一、复数的概念二、复数的关系与代数运算三、复数的几何表示10一、复数的概念1.虚数单位:规定:;1)1(2i.(2)样的法则进行四则运算可以与实数在一起按同i;1ii;12i;23iiii;1224iii;145iiii;1246iii;347iiii;1448iii……,14ni,14iin,124ni.34iin210x112.复数:,x,y对于任意两实数的实部称为zx.part)(real,)Re(zx;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当.为复数或iyxzyixz的虚部称为zypart)(imaginary).Im(zy)0()0()0()0()(xxyyiyX非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数12二、复数的关系与代数运算iyxziyxziyxz,,222111设复数1.两复数相等:2.和、差:212121yy,xxzz000y,xz).()(212121yyixxzz3.复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz4.复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz定义：满足关系式.zziyxzzzz的商与为的复数2112记为21zzz复数不能比较大小注：复数的运算满足交换律、结合律、分配律135.共轭复数:,iyxz例1.的积与计算共轭复数yixyix解))((yixyix22)(yix.22yx.z,z的积是一个实数两个共轭复数结论：.iyxz22yxzz2,zzx2zzyixyoiyxziyxz146.共轭复数的性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz;)Im()Re()3(22zzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz15三复数的几何表示一、复平面二、复球面16一、复平面1.复数的表示法),(yxiyxz),(yxxyxyoiyxz实轴虚轴复平面(1)复数的点表示：(2)复数的向量表示：xyxyoiyxzPOPiyxz两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致17xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z平行四边形法则及三角形法则xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz18﹡复数的模：.22yxrz,zx,zy,yxz222.zzzzzxyxyoiyxzPr;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz﹡复数和差的模的性质1z2z21zzxyo1z2zxyo1z2z21zz19﹡复数的辐角(argument)Arg0.zzz的辐角，设,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地的全部辐角为那么z辐角不确定.xyoPiyxz辐角的主值ππarg00zArgarg2π().zzkk为任意整数20,0x)22(xyarctanzarg,0,0yx,0,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,πarctanxy,π系确定：其辐角的主值按如下关给定),0(ziyxzOxy21直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez复数的指数表示式(3)复数的三角表示和指数表示xyoPiyxzxyr22的三角形式分别为和设复数21zz,sin(cos1111）irz,sin(cos2222）irz)sin(cos)sin(cos22211121irirzz)sinsincos[(cos212121rr)]sincoscos(sin2121i)]sin()[cos(212121irr21zz)]-sin()-[cos(/212121irr﹡复数的乘法和除法的几何意义23例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解zr)1(,4412,在第三象限因为zπ122arctan所以33arctan,65故三角表示式为,65sin65cos4iz;212)1(iz指数表示式为.465iez24例2.222111表示线用复数形式的方程来的直与将通过两点iyxziyxz解Oxy1z2zz1zz)(12zzt)(121zztzz),,(t的直线段的参数方程为到由21zz10)(121tzztzzx1yuoz(x,y,0)xyP(x’,y’,u’)x’y’N(0,0,1)对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,二、复球面x为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定：复平面上有一个唯一的“无穷远点”，它与球面上的球极N相对应．相应地，我们又规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并把它记作∞．而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞.),0(0aa),(0aa)(aa)0(aaa)(aaa四、复变函数的定义.,,,,(),().DzxiyDzwuivwzwfz设是一个复数的集合如果有一个确定的法则存在按这个法则对于集合中的每一个复数就有一个或几个复数与之对应那末称复变数是复变数的函数简称复变函数记作1.复变函数的定义:2.单(多)值函数的定义:.)(,是单值的我们称函数那末的值的一个值对应着一个如果zfwz.)(,是多值的那末我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果zfwz3.定义集合和函数值集合:;)()(定义域的定义集合称为集合zfG.,*称为函数值集合值所成的集合的一切中所有对应于GwzG30)(zfw),(vu),(yx),(),(yxvvyxuu例如：2zwxyiyxiyxivu2222)()(222xyvyxuiyxvyxuzf),(),()(单值函数与多值函数一个复变函数与两个二元实函数一一对应注:iyxzivuw,31例iyxzivuwzw,1,))(()(1iyxiyxiyxiyxivuw2222yxyiyxx2222yxyvyxxu,22yxiyx32G二、复变函数的几何意义)(zfw平面zxyOG平面wuvO)(zfwz的象w的原象.)(所构成的映射通常简称为由函数zfwz),(yxw),(vuf)(xfy33简单地说，复变函数的几何意义就是：它是一种变换，它把z平面上的点变换成了w平面上的点；把z平面上的一条曲线变换成w平面上的一条曲线变换成了w平面上的一条曲线；把z平面上的一个区域变换成w平面上的一个区域．34.)1(构成的映射函数zwxyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC两个特殊的映射:.ibawwibazz平面上的点映射成平面上的点将35xyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC,.zwwz如果把平面和平面重叠在一起不难看出是关于实轴的一个对称映射o1w2w1z2z且是全同图形.36.)2(2构成的映射函数zw.1,43,11,21,321321wi1z2z2w3w1w3z37.)2(2构成的映射函数zw.2的辐角增大一倍将映射zzwxyouvo2.2的角形域平面上与实轴交角为的角形域映射成平面上与实轴交角为将wz38解.20,4π0)1(r扇形域,,iiewrez设,2,2r则,40,2π0映射为故扇形域20,4π0r2zw仍是扇形域.:2上的象平面下求下列平面点集在在映射wzw例139解例1:上的象平面下求下列平面点集在在映射wzw2;4π,20)2(r线段,,iiewrez设,2,2r则,2π,404π,20映射为故线段r还是线段.xyouvo2zw40.)2(2构成的映射函数zw:2数对应于两个二元实变函函数zw.2,22xyvyxu,2,2122cxycyxxyz曲线标轴为渐近线的等轴双和坐线平面上的两族分别以直它把.,21cvcuw的两族平行直线平面上分别映射成xyuvzw1922yx1)1(22yx求下列曲线在映射（1）；（2）