1.1微积分预备知识

微积分是微分学和积分学的统称。它的萌芽、产生与发展经历了漫长的时期。微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。它是解决科学技术问题的重要的数学工具，也是工科学生重要的数学基础课，是培养大学生的素质特别是思维素质的重要载体。微积分发展史微积分：是以变量为研究对象，以极限为基本研究方法的自然科学。如何学习高等数学(微积分)?聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.要学好高等数学最基本的就是要:一、做好课前预习;二、做好课堂笔记及讲究解题的方法;三、做好课后的复习,及时认真完成作业。这三个步骤是学好高等数学的重要环节。第一节华罗庚预备知识一、集合二、函数概念三、函数的特性四、反函数五、复合函数六、函数的运算七、基本初等函数八、初等函数基本要求:1.理解函数概念,会求函数定义域,会计算函数值.2.掌握函数记号的应用,会求函数的复合与分解,会求反函数.3.掌握函数的特性.4.熟悉基本初等函数的性质和图形.5.会建立简单实际问题中的函数关系式．一、基本概念1.集合(set)具有某种特定性质的事物的全体叫做集合,组成这个集合的事物称为该集合的元素.事物a是集合A的元素，记作aA;事物a不是集合A的元素，记作aA.集合元素具有特性：1.确定性；2.互异性；3.无序性；空集：不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN注:若M为数集M*表示M中排除0的集;M+表示M中排除0与负数的集.2.区间:(interval)是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作有限区间两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.}{),[Rxxaxa且}{),(Rxbxxb且以上三个区间称为无限区间}{),(Rxx注意：,是记号，不是数.3.邻域:(neighborhood),0,且是两个实数与设a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径}{),(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{),(axxaU。).,(,}{aUaaxx记作邻域的称为点数集(,)(,)(,).Uaaaaa。即).,(aa).,(aU。记作1.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.二、函数概念因变量自变量变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,2、函数的定义函数的两要素:定义域与对应法则..)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx{(),}.fRyyfxxD函数值全体组成的数集称为函数的值域函数的单值性:一个自变量的值只对应一个函数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．．例如，222ayx约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.（若函数有实际意义，定义域由实际问题确定.）21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D例1判断下面函数是否相同,并说明理由.;cossin1)1(22xxyy与(2)1;xyyx与.)()3(22xxeyey与是不是不是12()ln(3),5(1)().(2)(ln).fxxxfxfx例设求的定义域的定义域注：函数符号f(x)的使用：f(x)表示将规则f施用于x，即f施用于括号内的数值或字母或数学式子.2(),(3),(2),[()]1xfxffxffxx例设求0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.注：分段函数是一个函数，定义域是各段定义域的并集.(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的分段函数举例：1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2()max{,4},(0,8)fxxxx例写出函数的分段函数形式.三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf正弦函数xysinxysinoxy)1,1(11xy1xy1,)2,1(1)(上有界在xxf.)1,1(上无界在函数有界的另一种定义:设f(x)在X内有定义,若M1和M2使xX,都有M1f(x)M2,则称f(x)在X内有界,而M1和M2称为f(x)在X上的一个下界和一个上界.在X上的全体有界函数构成的集合记为B(X).f(x)在X上有界可表示为fB(X).2．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有.(monotonicfunction)单调增加或减少的函数称为单调函数3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf.)functioneven()(为偶函数称xf偶函数的图形关于y轴对称.有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf).functionodd()(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇函数的图形图形关于原点对称.注意奇(偶)函数f(x)的定义域D应为关于原点对称的区间.定理定义在关于原点对称的区间D上的任一个非奇非偶函数f(x)能表为一个奇函数与一个偶函数之和.4．函数的周期性:(通常说周期函数的周期是指其最小正周期)2l2l23l23l设f(x)的定义域为D,若l0,使对xD有(xl)D且有f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.正弦函数xysinxysin例解,01)(QxQxxD设7(),(22)..()5DDDx求并讨论的性质,1)57(D(22)0,Doxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,()Dx的性质：四、反函数(inversefunction).)(,)(,,,)(,,)(yxxfyyxyyxfDxWyWDxfy记为的反函数称之为的函数是则看作自变量把使得总有确定的对值域为的定义域为设.)(,)()(,,称为直接函数而的反函数记为因此表示因变量表示自变量习惯上用xfyxyxfyyx.对称数的图形关于反函数的图形与直接函xy求反函数的方法：Step1从方程y=f(x)中解出x得x=(y)，Step2再把x，y记号对换得y=(x)，Step3反函数的定义域就是直接函数的值域.反函数的存在性：设y=f(x)在区间I内单调，则其反函数y=(x)在对应区间内存在且单调。例32.21xxy求的反函数五、基本初等函数1.幂函数(powerfunction)()yx是常数2.指数函数(exponentialfunction))1,0(aaayxxey3.对数函数(logarithmicfunction))1,0(logaaxyaxyln五、基本初等函数4.三角函数(trigonometricfunction)正弦函数xysinxycos余弦函数正切函数xytanxycot余切函数正割函数xysecxycsc余割函数五、基本初等函数xyarccos反余弦函数5.反三角函数(inversetrigonometricfunction)xyarcsin反正弦函数xyarctan反正切函数xycot反余切函数arc幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.五、基本初等函数1.幂函数(powerfunction)()yx是常数oxy)1,1(112xyxyxy1xy2.指数函数(exponentialfunction))1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey3.对数函数(logarithmicfunction))1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4.三角函数(trigonometricfunction)正弦函数xysinxysin5.反三角函数(inversetrigonometricfunction)xyarcsinxyarcsin反正弦函数xycosxycos余弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数正切函数xytanxytanxyarctanxyarctan反正切函数xycot余切函数xycotxycot反余切函数arcxycotarc正割函数xysecxysecxycsc余割函数xycsc幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.六、复合函数(compositefunction),uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.cot2xy可复合成.,yu例如由,cotvu2xv复合函数的分解经常会遇到把一个复杂函数分解为若干个简单函数的复合，例如：xey1sin2注意:由外到内逐层分解，分解到基本初等函数或基本初等函数与常数的和、差、积、商为止.例4将下列复合函数分解成简单函数.2(3)lnsin4;yx)4,sin,,ln,(2xttwwvvuuy2arctan2(1);xye22(2)cosln(21).yx例52(2)23,().fxxxfx设求例6(cos)1cos,(sin).22xxfxf设求此类题型：已知f[(x)]=h(x),求f(x).基本上有两种解法,一是将等式右端表达式变形为关于(x)的一个式子,再令u=(x),得到f(u)的表达式.另一种解法是令u=(x),解出x=g(u),代人右端表达式,从而得出f(u)的表达式,有了f(u)的表达式,就能求得结果.例7