高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2课件新人教A版

主题1离散型随机变量的分布列1.在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中,用X表示骰子向上一面的点数,试写出X的所有可能取值的结果以及相应的概率.提示:X的所有可能取值的结果为1,2,3,4,5,6.P(1)=,P(2)=,P(3)=,P(4)=,P(5)=,P(6)=.1616161616162.试将X的每一个取值及相应的概率以表格的形式表示出来.提示:X123456P1616161616163.根据问题2,想一想对一般的离散型随机变量的分布列有哪些性质?提示:由概率的意义和事件的关系,可知:①pi≥0,i=1,2,…,n;②pi=1.ni1结论:离散型随机变量的分布列(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的_______.(2)性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②pi=__.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn分布列1ni1【微思考】1.概率分布列表格中的x1,x2,…,xn及p1,p2,…,pn分别表示什么含义?Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn提示:表格中x1,x2,…,xn表示离散型随机变量X可能取的不同值,p1,p2,…,pn表示X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi.2.X取值为x1,x2,…,xn时所对应的事件是否互斥?提示:由随机变量的概念知随机变量X取值x1,x2,…,xn是不能同时发生的,故随机变量X取值为x1,x2,…,xn时所对应事件是互斥的.主题2两类特殊的分布1.如果一个随机试验中,X只有两种可能的结果1与0,设结果为1的事件发生的概率为p,试写X的概率分布列.提示:根据分布列的性质,另一个事件的概率为1-p,所以,随机变量X的分布列为:X01P1-pp2.在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,试写出P(X=k)和随机变量X的分布列.提示:P(X=k)=,k=0,1,2,…,m.随机变量X的分布列为:knkMNMnNCC C－－其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.结论:两类特殊分布列(1)两点分布列若随机变量X的分布列为X01P1-pp则称该分布列为_____分布列.若随机变量X的分布列为_____分布列,就称X服从_____分布,称p=P(X=1)为_____概率.两点两点两点成功(2)超几何分布列一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有K件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,则称分布列knkMNMnNCC C－－为超几何分布列,随机变量X服从超几何分布.【微思考】1.两点分布中随机变量X的取值有几个,分别是什么?其概率是多少?提示:随机变量X的取值有2个,分别是0,1,它们的概率是1-p与p.2.在超几何分布的模型中,“任取n件”应如何理解?提示:应理解为不放回地一次取一件,连续取n次.【预习自测】1.设随机变量X的分布列为则p等于()A.0B.C.D.不确定1316【解析】选B.由分布列的性质可知++p=1,解得p=.1316122.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=(k=1,2,…),则P(2X≤4)=()k121135A.B.C.D.1641616【解析】选C.P(2X≤4)=P(X=3)+P(X=4)34113.16223.下列事件:①抽取的彩券是否中奖;②买回的一件产品是否为正品;③投篮是否命中.可以用两点分布列来研究的是________.【解析】抽取的彩券只有中奖与不中奖两种结果,所以可用两点分布来研究;买回的一件产品只有正品与次品两种不同的结果,所以可用两点分布来研究;投篮只有命中与没有命中两种结果,所以可用两点分布来研究.答案:①②③4.将一枚硬币扔三次,设X为正面向上的次数,则P(0X3)=__________.【解析】P(0X3)=1-P(X=0)-P(X=3)=1-=0.75.答案:0.753311225.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=则P(X=0)=______,P(X=1)=______.01，两球全红，，两球非全红，【解析】显然,P(X=0)=所以P(X=1)=答案:26211C3C11，381.11113811116.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加雅安抗震救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X的分布列.【解析】依题意可知,随机变量X服从超几何分布,所以P(X=k)=(k=0,1,2).P(X=0)==0.1,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.3.k2k3225CCC023225CC1C10＝203225CC3C10＝113225CC6C10＝(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.6=0.3).故随机变量X的分布列为X012P0.10.60.3类型一求离散型随机变量的分布列【典例1】同时掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列.【解题指南】根据所掷两枚骰子朝上一面出现的点数确定X所有可能的取值,再利用古典概型知识求出X取每一个值的概率,进而写出分布列.【解析】易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况,X的可能取值为1,2,3,4,5,6,如下表:X的值出现的点数情况数1(1,1)12(2,2),(2,1),(1,2)33(3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3)5X的值出现的点数情况数4(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(2,4),(1,4)75(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5)96(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),(5,6),(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)11由古典概型可知X的分布列为【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以及X取每个值的意义.(2)求出取各值的概率P(X=xi)=pi.(3)列成表格得到分布列.【巩固训练】一袋中装有6个同样大小的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,求X的分布列.【解析】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取出3个球,包含的基本事件总数为,事件“X=3”包含的基本事件总数为;事件“X=4”包含的基本事件总数为;事件“X=5”包含的基本事件总数为;22C36C23C24C事件“X=6”包含的基本事件总数为.从而有P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=所以随机变量X的分布列如表:25C2236C120C＝，2336C320C＝，2436C310C＝，2536C1.2C＝【补偿训练】从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个,记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列.【解析】依题意,ξ的所有可能值为1,2,3,4,5.又P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=故ξ的分布列为:15C5,313125C10,313135C10,313145C5,313155C1,3131类型二分布列的性质及应用【典例2】(1)(2017·沈阳高二检测)设随机变量ξ的分布为P(ξ=k)=m·,k=1,2,3,则m的值为()k23()17271727A.B.C.D.18381919(2)(2016·衡水高二检测)设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(3ξ≤5)=0.2,那么()A.n=4B.n=8C.n=10D.n=20【解题指南】(1)利用各个概率之和等于1的性质可求m的值.(2)注意P(3ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5),又ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n).1n【解析】(1)选B.因为m·所以(2)选C.因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(3ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)==0.2,所以n=10.23222[1333()()]＝，27m.38＝1n2n【延伸探究】1.典例(2)中条件“P(3ξ≤5)=0.2”改为“P(ξ5)=0.2”,结果如何?【解析】因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(ξ5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=20.1n4n2.典例(2)条件不变,试写出其概率分布列.【解析】因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(3ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)==0.2,所以n=10.所以P(ξ=k)=.1n2n110分布列为【方法总结】分布列的基本性质若随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,取这些值的概率为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则①pi≥0,i=1,2,…,n.②p1+p2+…+pn=1.此外,利用分布列的性质检验所求分布列的正误,是非常重要的思想方法.③一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【补偿训练】设随机变量X的分布列P=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求常数a的值.(2)求P的值.kX5()3X5()【解析】由题意得X的分布列为:(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.(2)或1153345PXPXPXPX5555()()()()3454;15151553212124PX1PX1[PXPX1.555515155()()()()]()类型三两类特殊的分布及应用【典例3】在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的分布列.【解题指南】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,符合两点分布.(2)结合超几何分布的概率分布特点和题意即可写出Y的分布列.【解析】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有0和1两种情况.P(X=1)=则P(X=0)=1-P(X=1)=1-14110C42105C，23.55因此X的分布列为(2)Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)=P(Y=10)=P(Y=20)=P(Y=50)=P(Y=60)=0246210CC151453C，1136210CC182,455C2036210CC31,4515C1116210CC62,4515C1113210CC31.4515C因此随机变量Y的分布列为【方法总结】求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.(2)在超几何分布公式中,P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中,m=min{M,n}.这里的N是产品总数,M是产品中的次品数,n是抽样的样品数,且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n-k≤N-M.knkMNMnNCCC(3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.【拓展延伸】P(X=k)=的推导从N件产品中任取n件产品的基本事件有个;事件{X=k}表示“在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有k件次品,则必有(n-k)件