2.3.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用

第2课时双曲线方程及性质的应用泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功.织金育才学校ax或axayay或)0,(a),0(axabyxbay关于坐标轴和原点都对称性质双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围对称性顶点渐近线离心率图象xyxyace222(其中c=a+b)e1探究点1由双曲线的性质求双曲线方程1121325551,()m,m,m,m.,(m).【例】双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图,它的最小半径为上口半径为下口半径为高为试选择适当的坐标系求出此双曲线的方程精确到,xOy,AAx,.如图建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系使小圆的直径在轴上圆心解与原点重合：2222100132555xya,b,CabyB.y设双曲线的方程为令点的坐标为（，），则点的坐标为（，）B,C,因为点在双曲线上所以132252,CC,BBx,|CC|,|BB|.这时上、下口的直径都平行于轴且AABBCCxy131225O'''2222222255251112131212y,by.b（）（）52121b,y,由方程得负值舍去代入方程（），得222225552512112192751815003b,bbb.化简得（）AABBCCxy131225O'''221144625xy,.所以所求双曲线的方程为325b.用计算器解方程（），得已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式；(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；(3)写出标准方程．【提升总结】先定型，后定量！解：dMl设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合54|MF|PM,d22551645(x)y.|x|由此得将上式两边平方，并化简，得22916144xy.86所以点的轨迹是实轴、虚轴长分别为,的双曲线M.【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.516:xl45221169xy.即xyl..FOdM.H当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数)1(eace时,这个点的轨迹是双曲线,这叫做双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做的准线，常数e是的离心率.(,0)Fccax2(,0)Fc对于双曲线相应与焦点)0,0(12222babyax)0,(cF的准线方程是cax2由双曲线的对称性,相应与焦点)0,(cF的准线方程是2axc2axc“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率。xl..OMd.HXYO种类:相离、相切、相交(一个交点,两个交点)探究点2直线与双曲线的位置关系联立直线与双曲线的方程，消元得到一元二次方程（当二次项系数不为0时）(1)△0直线与双曲线相交有两个公共点；(2)△=0直线与双曲线相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与双曲线相离无公共点．【提升总结】直线与双曲线的位置关系：相交、相切、相离1.位置关系：2.判别方法(代数法)XYO解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).F1F2xyO··AB222313630xyF,A,BAB.【例】如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，求因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为333y(x).(1)22333136y(x),xy,由256270yxx.消去，得12935x,x.解这个方程，得1212231235x,xy,y.将的值代入（），得92332355A,B(,),(,).于是，两点的坐标分别为F1F2xyO··AB221212AB(xx)(yy)所以，22923323551635()().【提升总结】这里我们也可以利用弦长公式求解.弦长公式：2121xxkAB2212121k(xx)4xx，或2121221AB1(yy)4yy.k256270yxx.消去，得333y(x).(1)【变式练习】1AFB你能求出的周长吗？解析：因为F1的坐标是(-3,0),所以2212213323239231433555AF()();BF()().111163583AB,AFBABAFBF.又所以的周长是F1F2xyO··AB双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；(3)双曲线只有两个顶点，离心率e1；(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；【提升总结】92．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．121.（2013·陕西高考）双曲线22116xym的离心率为54,则m等于.3．经过点M(26，－26)且与双曲线x24－y23＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.x26－y28＝1B.y28－x26＝1C.y26－x28＝1D.x28－y26＝1C4．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，所以设双曲线的方程为x216－y29＝λ（λ≠0），由题意知λ0，所以16λ＋9λ＝16，所以λ＝1625.所以所求的双曲线标准方程为x225625－y214425＝1.1.双曲线的简单几何性质，利用性质求方程，解决与性质相关的综合性问题；2.了解直线与双曲线的位置关系及弦长公式.作业：创新方案