2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示和运算

复习平面向量基本定理：1复习平面向量基本定理：(2)基底不惟一，关键是不共线；22.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示和运算3把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.直角坐标系中，点A的坐标(x,y)的含义是什么？A(x,y)NMOxyOM=x,ON=y思考:互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？4探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya），（23），（2354321-1-2-3-2246ij），（23P32OPijO3i2j(3,2)64321-1-2-3-2246ij），（yxPOPxiyj向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP(,)xyyjxi7平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。8向量的坐标表示xyo910OxyAijaxy+axiyj+OAxiyj当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.两个向量相等，利用坐标如何表示？2121yyxxba且11例2.如图，分别用基底、表示向量、、、，并求出它们的坐标。AA1A2解：如图可知同理121234－1－5－2－3－4xy501234－1－2－3－4问题：若已知=（1，3），=（5，1），ab如何求+，－的坐标呢？abababC（6，4）（x1，y1）（x2，y2）13问题：若已知=（1，3），=（5，1），ab如何求+，－的坐标呢？abab－=（x1－x2，y1－y2）ba（x1，y1）（x2，y2）＋ba=（x1+y1）+（x2+y2）=（x1+x2）+(y1+y2)猜想：＋=（x1＋x2，y1＋y2）ba=（x1,）+(,y2)1y2x14平面向量的坐标运算法则1212,abxxyy1122,,,axybxy已知1212,abxxyy结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。15a向量的数乘运算？a11()xiyj11xiyj11a(,)xy即11,(,),Raxy若则结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标16例4已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.解：=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）17练习1.已知向量a、b的坐标，求a+b，a-b的坐标：a+b=（3，6）a-b=（-7，2）a-b=（7，-5）a+b=（1，11）a+b=（0，0）a-b=（4，6）a-b=（3，-4）a+b=（3，4）（1）a=（-2，4），b=（5，2）；（2）a=（4，3），b=（-3，8）；（3）a=（2，3），b=（-2，-3）；（4）a=（3，0），b=（0，4）.课本P1001课本P1012182．已知a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝()A．(4,2)B．(－6,8)C．(2,1)D．(－3,4)【答案】D1920).67(2),21(),43(),62(),24(,,，则，，解得，，即解析：由题，可知ADABADABABADADABBDABADACADAB21例3:已知，求的坐标.1122(,),(,)AxyBxyABxyOBAABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.解：练习：课本100页3（1）（2）2212345x501234－1－1－2－2－3－4－5CABD－66例.如图，已知四边形的四个顶点A、B、C，D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），(2,2)求证四边形ABCD是平行四边形y23例5如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，试求顶点D的坐标.yxO11ABCD解法1：设顶点D的坐标为（x，y）．(1，2)=(3-x，4-y)．1=3-x2=4-y∴x=2y=2∴∴顶点D的坐标为（2，2）．DC=(3-x，4-y)，由AB=DC，得24解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知∴顶点D的坐标为（2，2）．=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)BD=BA+AD=BA+BC=(2，2)．而OD=OB+BDyxO11ABCD=(3，-1)，25