2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算

1122aee平面向量的基本定理其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.复习：新课导入2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为，下滑力为，木块对斜面的压力为，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？G1F2F1FG2F1FG2F重力产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力.也就是说，重力的效果等价于和得合力效果，即G1F2FG12.GFF=+1F2F在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.232aij把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且，以向量为基底，向量如何表示？,ijai4a,ijaBOAPijaABCDoxyija如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij.aa=i+xjyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使i=j=0=（1，0）（0，1）（0，0）(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.aa这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作aaOxyijaA(x,y)a1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?aOA由a唯一确定2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？两者相同向量a坐标（x，y）一一对应概念理解3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba且例1:如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标.ijabcdAA1A2解：如图可知12a=AA+AA=2i+3ja=(2,3)同理b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).•例2、设i,j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a=i-(2m-1)j,b=2i+mj(m属于R),已知a//b,求向量a、b的坐标。解：因为a与b共线，所以存在实数x,使得a=xb,即i-(2m-1)j=x(2i+2mj),又i、j不共线所以2x=1,2xm=-(2m-1)解得x=?,m=?2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a，b，求a+b，a-b．),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差2.3.3平面向量的坐标运算2．已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：OAOBAB),(),(2211yxyx),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．),(yxa2.3.3平面向量的坐标运算例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）2.3.3平面向量的坐标运算例3．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D高考链接1（2008辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且，则顶点D的坐标为（）2BCADA.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）7212A解析：设D（x,y），(4,3),(,2),2BCADxyBCAD由得x=2,y=,故选A72课堂练习1、已知三点A(2，-1),B（3,4）则向量3+2CA=，BC-2=2、若a=（-1,2），b=(1,-1)，c=(3,-2),c=3pa+2qb,则p=q=3已知O是原点坐标，点A在第二象限，|OA|=6,角xOA=150。，向量OA的坐标为ABAB4.已知点A(8,2)，点B(3,5)，将沿x轴向左平移5个单位得到向量，则ABCD________.CD，(-53)，(-79)